2011年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）：文数第21题<-->返回列表
（本小题满分14分）
设函数。
（Ⅰ）讨论函数的单调性。
（Ⅱ）若有两个极值点，，记过点，的直线斜率为。问：是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。
（Ⅰ）定义域为，。令，。
①当时，，，故在上单调递增；
②当时，，的两根都小于零，在上，，故在上单调递增；
③当时，，的两根为，。
当时，；当时，；当时，。
故分别在，上单调递增，在上单调递减。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，。因为，所以。
又由（Ⅰ）知，。于是，若存在，使得，则，即，亦即
再由（Ⅰ）知，函数在上单调递增，而，所以，这与式矛盾，故不存在，使得。
本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及函数在某点取得极值的条件。
（Ⅰ）对求导，对、和三种情况分类讨论，根据的正负判断的单调性，即可求出函数的单调区间。
（Ⅱ）假设存在，使得，根据（Ⅰ）利用韦达定理求出直线斜率为，根据（Ⅰ）中函数的单调性，推出矛盾，即可说明不存在这样的。
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