2011年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）：文数第20题<-->2011年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）：文数第22题
（本小题满分13分）
已知平面内一动点到点的距离与点到轴的距离的差等于1。
（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；
（Ⅱ）过点作两条斜率存在且互相垂直的直线，，设与轨迹相交于点，，与轨迹相交于点，，求的最小值。
（Ⅰ）设动点的坐标为，由题意得，化简得。
当时，；当时，。
所以动点的轨迹的方程为和。
（Ⅱ）由题意知，直线的斜率存在且不为零，设为，则的方程为。
由，得。
设，的坐标分别为，，则，。因为，所以直线的斜率。设，，则同理可得。
故
当且仅当，即时，的最小值为16。
本题主要考查直线与抛物线的综合应用以及向量在几何问题中的应用。
（Ⅰ）设动点的坐标为，根据两点间距离公式和点到直线的距离公式，列方程，并化解即可求得动点的轨迹的方程；
（Ⅱ）设出直线的方程，联立直线和抛物线的方程，消去，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理，求出两根之和和两根之积，同理可求出直线的方程与抛物线的交点坐标，代入，再利用基本不等式求最值，即可求得其的最小值。
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