2011年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）：理数第19题<-->返回列表
（本小题满分13分）
若数列满足，则称为数列。记。
（1）写出一个满足，且的数列；
（2）若，。证明：数列是递增数列的充要条件是；
（3）对任意给定的整数，是否存在首项为的数列，使得？如果存在，写出一个满足条件的数列；如果不存在，说明理由。
（1）是一个满足条件的数列。
（答案不唯一，；；；；都是满足条件的数列）
（2）必要性：因为数列是递增数列，所以，所以是首项为，公差为的等差数列，所以。
充分性：由于
所以，即。
又因为，，所以。
故，即是递增数列。
综上，结论得证。
（3）令，则。
因为
所以
因为，所以为偶数 ，所以为偶数。
所以要使，必须使为偶数。
即整除，亦即或。
当时，数列的项满足，，时，有，；
当时，数列的项满足，。
当或时，不能被整除，此时不存在数列，使得，。
本题主要考查数列的性质。
（1）根据题目所定义的数列，任意写出一个满足题意的数列即可。
（2）分为证明必要性和充分性。充分性：由条件推导结论，每两项的绝对值之差为1，且项数之差为1999，末项与首项的差也为1999，容易看出是极端情况：每一项都比前一项大1；必要性：由结论推导条件，数列是递增数列，则绝对值号可以去掉，得数列时等差数列，由等差数列通项公式可得。
（3）采用假设推论法。先假设有满足条件的，再根据已知条件推导所需要满足的条件。本题在推导时，还根据不同的取值情况进行了分类。最后得出在时，存在符合题意的，在其他取值下不存在符合的。
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