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2011年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷):理数第20题

  2016-10-28 16:58:09  

(2011北京卷计算题)

(本小题满分13分)

若数列满足,则称数列。记

(1)写出一个满足,且数列

(2)若。证明:数列是递增数列的充要条件是

(3)对任意给定的整数,是否存在首项为数列,使得?如果存在,写出一个满足条件的数列;如果不存在,说明理由。

【出处】
2011年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷):理数第20题
【答案】

(1)是一个满足条件的数列

(答案不唯一,都是满足条件的数列

(2)必要性:因为数列是递增数列,所以,所以是首项为,公差为的等差数列,所以

充分性:由于

所以,即

又因为,所以

,即是递增数列。

综上,结论得证。

(3)令,则

因为

所以

因为,所以为偶数 ,所以为偶数。

所以要使,必须使为偶数。 

整除,亦即

时,数列的项满足时,有

时,数列的项满足

时,不能被整除,此时不存在数列,使得

【解析】

本题主要考查数列的性质。

(1)根据题目所定义的数列,任意写出一个满足题意的数列即可。

(2)分为证明必要性和充分性。充分性:由条件推导结论,每两项的绝对值之差为1,且项数之差为1999,末项与首项的差也为1999,容易看出是极端情况:每一项都比前一项大1;必要性:由结论推导条件,数列是递增数列,则绝对值号可以去掉,得数列时等差数列,由等差数列通项公式可得

(3)采用假设推论法。先假设有满足条件的,再根据已知条件推导所需要满足的条件。本题在推导时,还根据不同的取值情况进行了分类。最后得出在时,存在符合题意的,在其他取值下不存在符合的。 

【考点】
创新数列问题命题及其关系数列的递推与通项数列的求和
【标签】
定义法综合与分析法


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