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2022年高考数学浙江9

  2022-12-16 20:48:15  

(4分)已知$a$,$b\in R$,若对任意$x\in R$,$a\vert x-b\vert +\vert x-4\vert -\vert 2x-5\vert \geqslant 0$,则(  )
A.$a\leqslant 1$,$b\geqslant 3$              B.$a\leqslant 1$,$b\leqslant 3$              C.$a\geqslant 1$,$b\geqslant 3$              D.$a\geqslant 1$,$b\leqslant 3$
分析:法一:当$a < 1$,$x\rightarrow +\infty$时,推导出$a\vert x-b\vert +\vert x-4\vert -\vert 2x-5\vert =(a+1-2)x-ab-4+5 < 0$,与已知条件矛盾,从而$a\geqslant 1$,若$b > 3$,则当$x=b$时,推导出$a\vert x-b\vert +\vert x-4\vert -\vert 2x-5\vert =\vert b-4\vert -2b+5 < 0$,与条件矛盾,从而$b\leqslant 3$.
法二:由$a\vert x-b\vert \geqslant \vert 2x-5\vert -\vert x-4\vert$,作出$f(x)=\vert 2x-5\vert -\vert x-4\vert$的图象,数形结合,得$a\geqslant 1$且$b\leqslant 3$.
解法一:当$a < 1$,$x\rightarrow +\infty$时,
$a\vert x-b\vert +\vert x-4\vert -\vert 2x-5\vert =a(x-b)+(x-4)-22+5=(a+1-2)x-ab-4+5 < 0$,与已知条件矛盾,
$\therefore a\geqslant 1$,
若$b > 3$,则当$x=b$时,
$a\vert x-b\vert +\vert x-4\vert -\vert 2x-5\vert =\vert b-4\vert -2b+5 < 0$,与条件矛盾,
$\therefore b\leqslant 3$,
故$ABC$均错误,$D$正确.
解法二:由$a\vert x-b\vert \geqslant \vert 2x-5\vert -\vert x-4\vert$,作出$f(x)=\vert 2x-5\vert -\vert x-4\vert$的图象,如图,

数形结合,得$a\geqslant 1$且$b\leqslant 3$.
故选:$D$.
点评:本题考查绝对值不等式的解法,作为选择题,数形结合法等提高解题效率,属于基础题.

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