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2021年高考数学乙卷-文17

  2022-05-03 08:12:34  

17.(12分)某厂研制了一种生产高精产品的设备,为检验新设备生产产品的某项指标有无提高,用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品,得到各件产品该项指标数据如下:
旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7
新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为$\overline{x}$和$\overline{y}$,样本方差分别记为$s_{1}^{2}$和$s_{2}^{2}$.
(1)求$\overline{x}$,$\overline{y}$,$s_{1}^{2}$,$s_{2}^{2}$;
(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果$\overline{y}-\overline{x}\geqslant 2\sqrt{\dfrac{{s}_{1}^{2}{+s}_{2}^{2}}{10}}$,则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高,否则不认为有显著提高).
分析:(1)利用平均数和方差的计算公式进行计算即可;
(2)比较$\overline{y}-\overline{x}$与$2\sqrt{\dfrac{{s}_{1}^{2}{+s}_{2}^{2}}{10}}$的大小,即可判断得到答案.
解:(1)由题中的数据可得,$\overline{x}=\dfrac{1}{10}\times (9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10$,
$\overline{y}=\dfrac{1}{10}\times (10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3$,
$s_{1}^{2}=\dfrac{1}{10}\times [(9.8-10)^{2}+(10.3-10)^{2}+(10-10)^{2}+(10.2-10)^{2}+(9.9-10)^{2}+(9.8-10)^{2}$
$+(10-10)^{2}+(10.1-10)^{2}+(10.2-10)^{2}+(9.7-10)^{2}]=0.036$;
$s_{2}^{2}=\dfrac{1}{10}\times [(10.1-10.3)^{2}+(10.4-10.3)^{2}+(10.1-10.3)^{2}+(10.0-10.3)^{2}+(10.1-10.3)^{2}$
$+(10.3-10.3)^{2}+(10.6-10.3)^{2}+(10.5-10.3)^{2}+(10.4-10.3)^{2}+(10.5-10.3)^{2}]=0.04$;
(2)$\overline{y}-\overline{x}=10.3-10=0.3$,$\dfrac{{{s}_{1}}^{2}+{{s}_{2}}^{2}}{10}=\dfrac{0.036+0.04}{10}=0.0076$,
因为$(\dfrac{\overline{y}-\overline{x}}{2})^{2}=0.0225>0.0076$,
所以$\overline{y}-\overline{x}>2\sqrt{\dfrac{{s}_{1}^{2}{+s}_{2}^{2}}{10}}$,
故新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.
点评:本题考查了样本特征数的计算,解题的关键是掌握平均数与方差的计算公式,考查了运算能力,属于基础题.

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