如图，已知三棱柱的底面是正三角形，侧面是矩形，，分别为，的中点，为上一点，过和的平面交于，交于。
（1）证明：，且平面平面。
（2）设为的中心，若，平面，且，求四棱锥的体积。
（1）在三棱柱中，，，
因为、分别是、的中点，
所以，
因为，
所以四边形是平行四边形，
在矩形中，，
所以平行四边形是矩形，
所以，，
在三棱柱中，，
所以，即。
在等边三角形中，由于是中点，所以，
因为，，、平面，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面。
（2）因为平面，平面，平面平面，
因为平面平面，平面平面，
平面平面，
所以，即，
因为等边三角形、等边三角形的边长为，
因为为的中心，
因为平面平面，平面平面，平面平面，
所以四边形为梯形，是等边三角形，，
由（1）可得平面，
所以是梯形的高，
因为，，
所以
，
如图，过点作于点，
所以是四棱锥的高，
所以在中，，
因为，平面，平面，
所以点到平面的距离等于点到平面的距离，
所以。
本题主要考查点、直线、平面的位置关系和空间直角坐标系。
（1）首先利用对边平行且相等的四边形是平行四边形得到四边形是平行四边形，再在矩形中得到，从而得到平行四边形是矩形，进而得到，，所以得到。在等边三角形得到，从而可以利用线面垂直的判定定理得到平面，进而可以利用面面垂直的判定定理得到平面平面。
（2）根据面面平行的性质定理，可以分别得到、，根据线面平行的性质定理，可以得到。从而得到四边形是平行四边形，可以得到。由题意，等边三角形的边长为，根据点是的中心，可以求出、、、、、等线段的长度。再判断出四边形是梯形，结合（1）中的结论和线面垂直的判定定理得到是梯形的高。过点作于点，根据线面垂直的判定定理得到平面。根据题干中给出的角度可以求出的长度，从而可以求出四棱锥的体积。根据平面，可以得到点到平面的距离等于点到平面的距离，从而得到。
