(本小题14分)
已知椭圆:的右焦点为,且经过点。
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设为原点,直线:()与椭圆交于两个不同点,,直线与轴交于点,直线与轴交于点。若,求证:直线经过定点。
(Ⅰ)因为椭圆右焦点为,所以。
又因为椭圆经过点,所以,
所以,
故椭圆的方程为。
(Ⅱ)联立,得,
由题意知该方程有两个不同解,
则,
即,
设,,
则:,:,
故,,
若,则,
而,,
,
则,解得,
故,即该不等式恒成立。
故直线的方程为,则直线过定点。
本题主要考查圆锥曲线和直线与圆锥曲线。
(Ⅰ)由右焦点的坐标可得,根据点的坐标可得,则,即得椭圆方程。
(Ⅱ)联立直线与椭圆的方程,由可得,设,,可得直线和的方程,即可得点和点的坐标,再根据和根与系数的关系可得,即可解得,所以可得直线方程为,则直线过定点。