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2019年高考数学江苏18

  2019-06-20 20:05:54  

(2019江苏卷计算题)

(本小题满分16分)如图,一个湖的边界是圆心为的圆,湖的一侧有一条直线型公路,湖上有桥是圆的直径),规划在公路上选两个点,并修建两段直线型道路。规划要求:线段上的所有点到点的距离均不小于的半径。已知点到直线的距离分别为为垂足),测得(单位:百米)。

(1)若道路与桥垂直,求道路的长;

(2)在规划要求下,中能否有一个点选在处?并说明理由;

(3)在规划要求下,若道路的长度均为(单位:百米),求当最小时,两点间的距离。

【出处】
2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)理科:数学第18题
【答案】

(1)由题意可作图,

与圆交于点,则

又由题意有

则四边形为矩形,

因为

所以

因为

所以

因为

所以

又因为在中,

所以

又因为

(2)①当处时,如图

与圆相交,不符合要求。

②当处时,如图

因为四边形为矩形,

所以

所以

中,由余弦定理有:

其中,

所以

所以

与圆相交,不符合要求。

综上可知均不能有一个点选在处。

(3)当最短时,与圆相切,则

由(1)求得此时

最短时,点,

又因为

所以的最小值为

此时,,如图。

此时,的位置有两种情况,

点的左侧时记为

与圆相交,不符合。

所以点的右侧,记为

中,

中,

两点间距离为百米。

【解析】

本题主要考查圆与方程和正、余弦定理的应用。

(1)设与圆交于点,根据题目要求可画出对应的图象,结合题中数据可得,进而得,由可得,在中计算即可

(2)欲满足规划要求,则均不与圆相交,当处时,显然不符合要求;当处时,连接,在中,利用余弦定理可得,即与圆相交,不符合要求;综上可得不能有一个点选在处。

(3)由(1)知,当最短时,;当最短时,点,。因为要满足,所以最小值为。结合图象可知,的位置有两种情况,其中只有点的右侧时满足题意,记为。利用勾股定理计算即可得。即两点间距离为百米。

【考点】
正余弦定理的应用圆与方程


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