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2019年高考数学江苏14

  2019-06-20 20:05:53  

(2019江苏卷其他)

是定义在上的两个周期函数,的周期为的周期为,且是奇函数。当时,其中。若在区间上,关于的方程个不同的实数根,则的取值范围是 __________。

【出处】
2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)理科:数学第14题
【答案】

【解析】

本题主要考查函数的概念与性质和圆与方程。

①当时,

不妨令

化简得( ),

所以函数上的图象是以为圆心,为半径的上半圆。

因为是定义在上的奇函数,所以

所以函数上的图象是以为圆心,为半径的下半圆。

又因为是周期为的周期函数,

所以可画出上的图象如图所示;

因为是周期为的周期函数,且当时,

所以当时,

时,),则且恒过点

的图象置于同一直角坐标系下,

为了便于区分,函数的图象为实线,函数的图象为虚线。

②由图可知:

时, ,的图象无交点;

时,的图象只有一个交点;

由周期性可知:

时,的图象无交点;

时,的图象也只有一个交点;

综上,时,图象有个交点;

又因为时,个不同的实数根,

所以时,的图象应有个交点;

而在时,,而,所以的图象无交点;

所以时,在图象上应有个交点。

③由的周期性可知:

欲满足题意,则需当时,图象有个交点,

即直线与圆弧)在时有个交点,

所以圆心到直线的距离

解得,又因为,所以

另需保证直线与圆弧的两交点在上,可找到临界状态,

即直线过点,此时解得

综上所述,的取值范围为

故本题正确答案为

【考点】
圆与方程


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