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2018年高考数学上海20

  2018-07-26 16:16:26  

(2018上海卷计算题)

设常数,在平面直角坐标系中,已知点,直线,曲线)。轴交于点、与交于点分别是曲线与线段上的动点。

(1)用表示点到点的距离;

(2)设,线段的中点在直线上,求的面积;

(3)设,是否存在以为邻边的矩形,使得点上?若存在,求点的坐标;若不存在,说明理由。

【出处】
2018年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷):理数第20题
【答案】

(1)由抛物线的性质可知,抛物线的准线为

抛物线上的点到焦点的距离等于点到准线的距离,

由题意知,点的横坐标为,则

(2)当时,

由曲线)知:

的纵坐标为,则

由于在线段上,则点的纵坐标取值在之间。

由题意,则的纵坐标为

的中点坐标为

由于,由题意可知的斜率存在,则可设直线的方程为:

所以将点的坐标代入方程得

解得,则直线的方程为

代入抛物线方程得

由于均在直线上,则边边长为

边上的高等于

(3)存在以为邻边的矩形,使得点上。

时,,点的纵坐标为,则

①若,则点,而点,则轴。

若以为邻边的四边形为矩形,则

轴,故点。此时点,由于

则点不在上,此情况不成立。

②当时,直线的斜率可以表示为

由于,则直线的斜率可以表示为

所以直线的方程为

时,

所以

而在以为邻边的四边形中,

为不相邻的两个顶点,

故点

当点上时,有

移项后去分母整理得,解得

,则,故

综上所述,存在以为邻边的矩形,使得点上,此时点

【解析】

本题主要考查圆锥曲线和平面向量的应用。

(1)根据曲线上的点到焦点的距离等于此点到准线的距离,求出

(2)根据所给出条件可求出点的坐标,以为底,的距离为高,可求的面积。

(3)设点坐标为,分两种情况讨论。当根据,及点坐标,通过直线斜率的关系可以求出直线的方程,进而求出点坐标。根据,可以求出点坐标,将点坐标代入曲线的方程,可以求出的值,进而求得点坐标。

【考点】
向量的应用圆锥曲线


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