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2017年高考数学新课标3--理23

  2017-06-27 20:25:41  

(2017新课标Ⅲ卷计算题)

[选修4-5:不等式选讲](10分)

已知函数

(1)求不等式的解集;

(2)若不等式的解集非空,求的取值范围。

【出处】
2017年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅲ卷):理数第23题
【答案】

(1)当时,,因此无解;

时,,由,解得,因此

时,,因此

综上所述,不等式的解集为

(2)原式等价于存在实数使得不等式成立,即

,由(1)可知,

时,,为开口向下的抛物线,其对称轴为,所以;当时,,为开口向下的抛物线,其对称轴为,所以;当时,,为开口向下的抛物线,其对称轴为,所以。综上可知,,所以的取值范围为

【解析】

本题主要考查求解绝对值不等式。

(1)对的范围分段讨论得到在不同区间上的函数表达式,每段分别求解不等式后对各段解集取并集,故可得到原不等式的解集;

(2)依题可将问题转化为求函数的最大值,则只要小于等于函数的最大值即可。结合(1)可得到函数的分段表达式,在每段上分别求函数的最大值,最后得到函数在整个实数集上的最大值,即可求得的取值范围。

【考点】
求解绝对值不等式


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