（12分）
已知抛物线：，过点的直线交于，两点，圆是以线段为直径的圆。
（1）证明：坐标原点在圆上；
（2）设圆过点，求直线与圆的方程。
（1）因为抛物线的方程为①，所以焦点为，准线为，当直线斜率不存在时，即垂直于轴，此时、点横坐标均为，将代入曲线方程，解得，故此时圆半径为，坐标原点在圆上；当直线斜率存在时，设直线的方程为②，将①②方程联立得，设点，，所以，，③，④，因为⑤，将③④代入⑤得，所以，又为直径，所以坐标原点在圆上。
（2）因为圆过点，所以，即。将点，，的坐标代入得，即⑥，由于，利用（1）中的结论及式③化简⑥式得，解得或。所以当时，直线的方程为，，所以点的横坐标为，将代入直线的方程为得纵坐标，所以点，所以，所以圆的方程为。当时，直线的方程为，，所以点的横坐标为，将代入直线的方程得纵坐标，所以点，所以，所以圆的方程为。所以当时，直线的方程为，圆的方程为；当时，直线的方程为，，圆的方程为。
本题主要考查抛物线及圆的相关知识。
（1）设点，，直线的方程为，联立消去可得关于的一元二次方程，根据根与系数的关系可得，的值，将这些值代入中，证明即可。
（2）因为圆过点，所以，即，结合（1）的结论求出直线的斜率，进而求得圆的方程和直线的方程。
