(12分)
某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶元,售价每瓶元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶元的价格当天全部处理完。根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关。如果最高气温不低于,需求量为瓶;如果最高气温位于区间,需求量为瓶;如果最高气温低于,需求量为瓶。为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。
(1)求六月份这种酸奶一天的需求量(单位:瓶)的分布列;
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量(单位:瓶)为多少时,的数学期望达到最大值?
(1)由已知得,的可能取值为,和。记六月份最高气温低于为事件,最高气温位于区间为事件,最高气温不低于为事件。根据题意,结合频数分布表,用频率估计概率,知,,。故六月份这种酸奶一天的需求量(单位:瓶)的分布列为:
(2)结合题意和(1),得:
当时,;
当,;
当时,。所以当时,。
即当六月份这种酸奶一天的进货量(单位:瓶)为时,的数学期望达到最大值。
本题主要考查随机变量及其分布。
(1)根据题中条件,由表格数值求得的取值为,和对应的概率,进而得到的分布列即可;
(2)根据题意分别求出当,,以及时利润关于的函数表达式,进而求得的数学期望达到最大值时的取值。