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2017年高考数学新课标2--理20

  2017-06-27 20:25:39  

(2017新课标Ⅱ卷计算题)

(12分)

为坐标原点,动点在椭圆上,过轴的垂线,垂足为,点满足

(1)求点的轨迹方程;

(2)设点在直线上,且,证明:过点且垂直于的直线的左焦点

【出处】
2017年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷):理数第20题
【答案】

(1)令,故,故可表为,即,代入可得,即,所以点的轨迹方程为

(2)设,则可表为,即,整理得:,即,故的斜率为,故由题知①若,直线的斜率为,又由题知直线过点,故可得其点斜式;由,可得椭圆左焦点坐标为,代入方程直线,得,可知此等式恒成立,②若,即,则点,过点且垂直于的直线,也经过点。综上,“过点且垂直于的直线的左焦点”得证。

【解析】

本题主要考查曲线与方程。

(1)令,根据题意列出等式,然后根据在椭圆上消去参数得到点的轨迹。

(2)设,根据题设可得,进而表示出直线,易得椭圆左焦点坐标为,代入直线方程可知 恒过定点

【考点】
曲线与方程


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