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2016年高考数学山东--理20

  2016-10-31 10:50:00  

(2016山东卷计算题)

(本小题满分13分)

已知

(Ⅰ)讨论的单调性。

(Ⅱ)当时,证明对于任意的成立。

【出处】
2016年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷):理数第20题
【答案】

(1)的定义域为

时,时,单调递增,时,单调递减。

时,

时,,当时,单调递增,当时,单调递减。②时,,在内,单调递增。③当时,,当时,单调递增,当时,单调递减。

综上所述,当时,内单调递增,在内单调递减;

时,内单调递增,在内单调递减,在内单调递增;

时,内单调递增;

时,内单调递增,在内单调递减,在内单调递增。

(2)由(1)知,时,。则,其中,由,可得,当且仅当时取得等号,又,设,则上单调递减,因为,所以,使得时,时,,所以,可得,当且仅当时取得等号,所以,即对于任意的成立。

【解析】

本题主要考查导数在研究函数中的应用。

(1)对函数求导,对分类讨论函数的单调性;

(2)构造函数,对构造函数的两部分分别求导讨论单调性及取值范围,则,得证。

【考点】
导数在研究函数中的应用


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