（本小题满分14分）
设函数，，其中，。
（1）求的单调区间；
（2）若存在极值点，且，其中，求证：；
（3）设，函数，求证在区间的最大值不小于。
（1）已知，求导得，当时，恒成立，所以在上单调递增；当时，令，解得或，令，解得，所以单调递增区间为和，单调递减区间为；
（2）由得，所以，，所以，所以；
（3）欲证在区间的最大值不小于，只需证存在，，使即可。当时，在上单调递减，，，所以成立；当时，，，因为，，所以，若时，成立；当时，成立。综上，在区间的最大值不小于。
本题主要考查导数的概念及其几何意义。
（1）求出，分别讨论大于或者小于，即可得出其单调区间。
（2）令，求出极值点对应横坐标，然后将其带入函数式，通过化简和因式分解，求出与此函数值相同的点的横坐标，即可得出。
（3）将最小值问题转化为同函数两函数值差的最小值问题，在不同区间内分别取自变量、，讨论函数值范围即可。
