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2015年高考数学安徽--理19

  2016-10-28 18:49:32  

(2015安徽卷计算题)

(本小题满分13分)

如图所示,在多面体中,四边形均为正方形,的中点,过的平面交

(Ⅰ)证明:

(Ⅱ)求二面角余弦值。

【出处】
2015年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷):理数第19题
【答案】

(Ⅰ)证明:因为,所以。又因为面,所以,所以

(Ⅱ)解法一:将原来图形补全成正方体。如图所示,过,取中点,连接,则,所以是二面角的平面角。设正方体边长为,所以,所以。故二面角的平面角的余弦值是

解法二:因为四边形均为正方形,所以,以为原点,分别以轴、轴、轴单位正向量建立如图所示的空间直角坐标系,可得点的坐标,而点为的中点,所以点的坐标为

设面的法向量,而该面上向量,由应满足方程组为其一组解,所以可以取

设面的法向量,而该面上向量,由此同理可得

所以结合图形而知二面角的余弦值为

【解析】

本题主要考查空间中点、线面之间的关系。

(1)由线面平行推出线线平行。

(2)解法一:补全正方体,可以证明是二面角的平面角,进而求出二面角的平面角的余弦值是

解法二:建立空间直角坐标系,求出二面角两个平面的法向量,利用法向量夹角的余弦值求出二面角的平面角的余弦值。

【考点】
空间直角坐标系空间向量的应用空间几何体


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