本题主要考查函数的基本性质。

A项，是偶函数，也存在零点，故A项符合题意；

B项，是奇函数，存在零点，故B项不符合题意；

C项，非奇非偶函数，存在零点，故C项不符合题意；

D项，是偶函数，但不存在零点，故D项不符合题意。

故本题正确答案为A。