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2015年高考数学湖南--文18

  2016-10-28 18:48:03  

(2015湖南卷计算题)

(本小题满分12分)

如图,直三棱柱的底面是边长为的正三角形,分别是的中点。

(Ⅰ)证明:平面平面

(Ⅱ)若直线与平面所成的角为,求三棱锥的体积。

【出处】
2015年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷):文数第18题
【答案】

(1)

如图,因为三棱柱时直三棱柱,所以。又是正三角形的边的中点,所以,因此,而,所以,

(2)设的中点为,连接。因为是正三角形,所以。又三棱柱是直三棱柱,所以,因此,于是为直线与平面所成的角,由题设,,所以。在中,,所以,故三棱锥的体积

【解析】

本题主要考查立体几何。

(1)根据直三棱柱的性质,得出,根据等比三角形的性质得出,再根据面面垂直的判定定理证明即可;

(2)根据已知条件算出直三棱柱的棱长,再根据三棱柱体积的计算公式即可算出。

【考点】
点、直线、平面的位置关系


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