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2017年高考数学上海20

  2017-08-10 10:31:46  

(2017上海卷计算题)

在平面直角坐标系中,已知椭圆的上顶点,上异于上、下顶点的动点,正半轴上的动点。

(1)若在第一象限,且,求的坐标。

(2)设,若以为顶点的三角形是直角三角形,求的横坐标。

(3)若,直线交于另一点,且,求直线的方程。

【出处】
2017年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷):理数第20题
【答案】

(1)设点坐标为,依据,可得点也在椭圆上,固有,联立两式可解得

(2)若以为顶点的三角形是直角三角形,设,则有三种可能情况:

时,,解得,故不符合题意,舍去。

时,,解得,符合题意。

时,,解得,符合题意。

故当时,以为顶点的三角形是直角三角形。

(3)设,由题意易得设中点,线段的中垂线轴的交点,则有

化简可得,又因为,代入可得,即求得

因为,设可得,解得

又因为,设可得,解得

两点坐标代入椭圆方程可求得,即

故可得直线的方程为

【解析】

本题主要考查圆锥曲线和曲线与方程。

(1)利用这个已知条件,从而列出二元二次方程组求解。

(2)若以为顶点的三角形是直角三角形,则要分析时,时,时三种可能的情况,从而得出正确答案。

(3)本题的主要思想是将几何条件转换为代数关系,再通过联立多个方程组求解点的坐标。

首先利用得出点的坐标表达式,其次通过得出点的坐标表达式,最后依据得出点的坐标表达式,逐层推算,最后联立求解得到正确答案。

【考点】
圆锥曲线曲线与方程


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