14.3.3用向量方法判定空间中的平行关系
空间中的平行关系主要是指:线线平行、线面平行、面面平行.
(1)线线平行
设直线$l_1,l_2$的方向向量分别是$\vec{a},\vec{b}$,则要证明$l_1//l_2$,只需证明$\vec{a} // \vec{b}$,即$\vec{a}=k\vec{b}(k \in R)$
(2)线面平行
①设直线$l$的方向向量是$\vec{a}$,平面$α$的法向量是$\vec{u}$,则要证明$l//α$,只需证明$\vec{a} \bot \vec{u}$,即$\vec{a} ·\vec{u}=0$.
②根据线面平行的判定定理:“如果直线(平面外)与平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行”,要证明一条直线与一个平面平行,也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量.
③根据共面向量定理可知,如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量,那么这个向量与这两个不共线向量确定的平面必定平行,因此要证明一条直线与一个平面平行,只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可
(3)面面平行
①由面面平行的判定定理,要证明面面平行只要转化为相应的线面平行、线线平行即可.
②若能求出平面$α,\beta$的法向量$\vec{u} , \vec{v}$,则要证明$\alpha //\beta$,只需证明$\vec{u}// \vec{v}$.