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14.1.4空间向量的数量积

  2019-10-04 09:25:55  

空间向量数量积运算
Ⅰ、空间向量数量积的概念:
⑴概念:已知两个非零向量,我们把数量叫做的数量积(或内积)。记作,即

其中θ是的夹角,向量夹角的范围是0°≤θ≤180°。
叫做向量方向上(或方向上)的投影。
如图为两向量数量积的各种关系:

⑵概念说明:
1o 零向量与任一向量的数量积为0,即
2o 符号“·”在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“”代替。
3o 当0≤θ<时,cosθ>0,从而;当<θ≤π时,cosθ<0,从而;当θ=时,cosθ=0,从而
Ⅱ、空间向量数量积的几何意义:
向量的数量积的几何意义为数量积等于的长度与方向上投影的乘积。

Ⅲ、空间向量数量积的运算性质:
为两个非零向量,是与同向的单位向量,则


⑶当同向时,;当反向时,
特别地


Ⅳ、空间向量数量积的运算律:
设向量和实数λ,则向量的数量积满足下列运算律:
(交换律);
(数乘结合律);
(分配律)。
Ⅴ、空间向量数量积的坐标表示:
,则

即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。

空间向量数量积运算的应用
⑴求证垂直:求证两直线垂直转化为求证两直线的方向向量垂直
若设两直线的方向向量分别为,则

⑵求向量的模:,则

⑶求两直线的夹角:求两直线的夹角转化为求两直线的方向向量的夹角
若设两直线的方向向量分别为,则

⑷求两点间的距离:求两点间的距离转化为求以这两点为始终点的有向线段的长度,即求向量的模
,则

⑸求平面的法向量:
1o 平面的法向量:如果,那么向量叫做平面的法向量。
2o 求平面的法向量:
设非零向量,使得不共线,若非零向量为平面的法向量,则

解得
,可取使尽量简单的常数值),则法向量


⑹求空间点面距离:
如图,设平面的法向量及平面上一点A,则点P到
平面的距离d为

用向量方法求点面距离的特点是不要作垂线,不要求找到垂足就可以求得点面距离
⑺求线面所成的角:
设直线L的方向向量为平面的法向量为,向量的夹角为,直线L与平面所成的角为,则


⑻求空间二面角:
设平面α的法向量为,平面β的法向量为,向量所成的角为



那么二面角的大小为,视具体情况而定(如图)。



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