空间向量数量积运算Ⅰ、空间向量数量积的概念:⑴概念:已知两个非零向量与,我们把数量叫做与的数量积(或内积)。记作,即。其中θ是与的夹角,向量夹角的范围是0°≤θ≤180°。叫做向量在方向上(或在方向上)的投影。如图为两向量数量积的各种关系:⑵概念说明:1o 零向量与任一向量的数量积为0,即。2o 符号“·”在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“”代替。3o 当0≤θ<时,cosθ>0,从而;当<θ≤π时,cosθ<0,从而;当θ=时,cosθ=0,从而。Ⅱ、空间向量数量积的几何意义:向量的数量积的几何意义为数量积等于的长度与在方向上投影的乘积。Ⅲ、空间向量数量积的运算性质:设、为两个非零向量,是与同向的单位向量,则⑴;⑵;⑶当与同向时,;当与反向时,;特别地或;⑷ ;⑸ 。Ⅳ、空间向量数量积的运算律:设向量和实数λ,则向量的数量积满足下列运算律:⑴(交换律);⑵ (数乘结合律);⑶ (分配律)。Ⅴ、空间向量数量积的坐标表示:设,则。即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。空间向量数量积运算的应用⑴求证垂直:求证两直线垂直转化为求证两直线的方向向量垂直。若设两直线的方向向量分别为,则⑵求向量的模:若,则。⑶求两直线的夹角:求两直线的夹角转化为求两直线的方向向量的夹角。若设两直线的方向向量分别为,则。⑷求两点间的距离:求两点间的距离转化为求以这两点为始终点的有向线段的长度,即求向量的模。若,则。⑸求平面的法向量:1o 平面的法向量:如果,那么向量叫做平面的法向量。2o 求平面的法向量:设非零向量,使得,不共线,若非零向量为平面的法向量,则。解得 ,令(,可取使尽量简单的常数值),则法向量。⑹求空间点面距离:如图,设平面的法向量及平面上一点A,则点P到平面的距离d为。用向量方法求点面距离的特点是不要作垂线,不要求找到垂足就可以求得点面距离。⑺求线面所成的角:设直线L的方向向量为平面的法向量为,向量与的夹角为,直线L与平面所成的角为,则,。 ⑻求空间二面角:设平面α的法向量为,平面β的法向量为,向量所成的角为,若,则。那么二面角的大小为或,视具体情况而定(如图)。