求圆锥曲线的最值问题时,通常先建立一个目标函数,利用函数的性质或重要不等式求最值.一般地,目标函数为二次函数,可利用二次函数的图
象和单调性来解,若含有参数,则用轴动区间法进行讨论,对于分式或高次函数一般用单调性或高次不等式或求导解决,常见的题型为:
(1)圆锥曲线本身的最值问题.记住下面结论
①椭圆上两点的最大距离为 $2a$,即长轴长;
②双曲线上两点的最小距离为$2a$,即实轴长;
③椭圆的焦半径的取值范围为$[a-c,a+c]$;
④抛物线上顶点与抛物线的准线距离最近.
(2)距离问题,如圆锥曲线上的点到定点的距离、圆锥曲线上的点到定直线的距离、与距离有关的面积问题等.
(3)点在圆锥曲线上的条件下,求相关目标函数的取值范围.
(4)已知直线与圆锥曲线的位置关系,求直线或圆锥曲线中某个参数所满足的范围.
(5)应用问题的最值.
圆锥曲线中最值问题的求解方法常分为两类一是几何法,特别是圆锥曲线的定义和有关结论;二是代数法,将圆锥曲线中的最值问题转化为二次
函数或三角函数的最值问题,然后利用单调性、均值不等式或三角函数的有界性等知识求解,常用的策略有:利用圆锥曲线的对称性求最值;利用重要不等式;利用定义;利用几何性质;利用数形结合方法.