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12.3.5关于抛物线的几个重要结论

  2019-10-04 09:08:34  

抛物线与点的位置关系
Ⅰ、抛物线与点的位置关系:
对于抛物线而言,已知点

Ⅱ、判断方法:
(1)“以点代面”判断法:即在抛物线外找一特殊的点,将其坐标代入抛物线方程的左边式子,得则判断出的点与点在同一区域内。
(2)“关系结论”判断法:
对于抛物线而言,已知点
则点在抛物线上;
则点在抛物线内;
则点在抛物线外。

抛物线与直线的位置关系
Ⅰ、抛物线与直线的位置关系:

Ⅱ、抛物线与直线位置关系的判断:
已知抛物线,直线,联立得

1o ,则方程组有唯一一组解 抛物线与直线相交于一点;
2o ,则
时,抛物线与直线相交于两点;当时,抛物线与直线相切于一点;当时,抛物线与直线不相交,即相离。
Ⅲ、抛物线与直线位置关系的特点研究:
1o 抛物线与直线相交于两点,若直线的斜率为,则弦长


2o 抛物线与直线相切于点,若抛物线方程是
则已知切点的抛物线切线方程为

此外,求抛物线切线方程的一般方法是:“联立—消元—”。
3o 抛物线与直线相离,则可求抛物线与直线距离最近的点,或直线与抛物线最短的距离。
设抛物线,直线
方法1:如图,是抛物线上任意一点,求点到直线的距离最小值,这最小值就是直线与抛物线的最短距离。即求的最小值。

方法2:如图,平行于直线的动直线与抛物线相切时,平行线之间的距离就是直线与抛物线的最短距离。
抛物线与圆的位置关系
只限于抛物线与圆有共同对称轴的情况,研究抛物线与圆的最短距离。
由于圆的半径是不变的,抛物线与圆的最短距离就转化为定圆的圆心
与抛物线的最短距离。

如图,设抛物线上点,圆与圆交于点,则

的最小值转化为求二次函数
在区间上的最小值,于是



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