11.1.3.3对称问题
(1)“点关于点”的对称
点$P(x_1,y_1)$关于$M(x_0,y_0)$的对称点$P'$的坐标是$P(2x_0-x_1,2y_0-y_1)$;
点$P(x_1,y_1)$关于坐标原点的对称点是$P'(-x_1,-y_1)$.
(2)“点关于直线”的对称
①求点关于直线的对称点
设$P(x_0,y_0)$,$l_1:Ax+By+C=0(A^2+B^2≠0)$,若$P$关于$l$的对称点$Q$的坐标为$(x,y)$,则$l$是$PQ$的垂直平分线,即 $PQ\bot l$且$PQ$的中点在$l$上,解方程组
$\begin{cases} \dfrac{y-y_0}{x-x_0}\cdot \left(-\dfrac{A}{B}\right) =-1\\  A  \cdot \dfrac{x+x_0}{2} +B  \cdot \dfrac{y+y_0}{2}+C=0 \end{cases}$
可得 $Q$点的坐标.
②几种特殊位置的对称:

【说明】
点$A(x_0,y_0)$关于直线$x+y+c=0$的对称点 $A'$的坐标为$(-y_0-c,-x_0-c)$,关于直线$x-y+c=0$的对称点 $A''$的坐标为$(y_0-c,x_0+c)$.
曲线$f(x,y)=0$关于直线$x+y+c=0$的对称曲线为曲线$f(-y-c,-x-c)=0$.
曲线$f(x,y)=0$关于直线$x-y+c=0$的对称曲线为$f(y-c,x+c)=0$.
以上这种方法用来解填空题、选择题特别有效,应加以理解并记忆.
(3)“直线关于点”的对称
直线关于点的对称直线一定是一条与已知直线平行的直线,由中点坐标公式可得.
直线 $Ax+By+C=0$关于点$P(x_0,y_0)$的对称直线方程是
$A(2x_0-x)+B(2y_0-y)+C=0$,
即$Ax+By-(2Ax_0+2By_0+C)=0$.
(4)“直线关于直线"对称
①几种特殊位置的对称
已知曲线$f(x,y)=0$,则它:
a.关于$x$轴对称的曲线是$f(x,-y)=0$;
b.关于$y$轴对称的曲线是$f(-x,y)=0$;
c.关于原点对称的曲线是$f(-x，-y)=0$;
d.关于直线$y=x$对称的曲线是$f(y,x)=0$;
e.关于直线$y=-x$对称的曲线是$f(-y,-x)=0$;
f.关于直线$x=a$对称的曲线是$f(2a-x,y)=0$;
g.关于直线$y=b$对称的曲线是$f(x,2b-y)=0$.
【说明】上述“直线关于点”,“直线关于直线”对称的结论对一般曲线也适合.关于直线$y=x$的对称直线还可以利用反函数来求
②一般位置的对称
由平面几何知识可知,若直线$a,b$关于直线$l$对称,它们具有下列几何性质:
a.若$a,b$相交,则$l$是$a,b$交角的平分线;
b.若点$A$在直线$a$上,则$A$关于直线$l$的对称点$B$一定在直线$b$上,这时$AB\bot l,$并且$AB$的中点$D$在$l$上;
c.$a$以$l$为轴旋转$180°$,一定与$b$重合.
③求直线$a$关于直线$l$对称的直线$b$的方法
a.若$a$与$l$相交，
方法一:先求$a$与$l$的交点$A$,再在$a$上任取不同于$A$的一点$B$,求出$B$关于$l$的对称点$B'$,由$A、B'$求$b$的方程.
方法二:求$a$与$l$的交点$A$,在$l$上任取一点$B$($B$不同于$A$),由点$B$到$a,b$的距离相等求$b$的斜率,再求出直线方程
b.若$a$与$l$不相交，
由于$a$与$l$不相交,则$a//l,b//a$.
方法一:在$a$上任取一点$A$,求$A$关于$l$的对称点 $A'$,由$b//a$,且过点 $A'$求直线方程.
方法二:在$a$上任取两点$A$、$B$,求$A,B$关于$l$的对称点 $A',B'$,由两点式求$b$的方程.
方法三:由$a//b$,设$b$的方程,再由$l$到$a$的距离与$l$到$b$的距离相等求$b$的方程
【小结】常见的对称结论有:
设直线$l:Ax+By+C=0$
①$l$关于$x$轴对称的直线是
$Ax+B( -y)+C=0$;
②$l$关于$y$轴对称的直线是
$A(-x)+By+C=0$;
③$l$关于原点对称的直线是
$A(-x)+B( -y)+C=0$;
④$l$关于$y=x$对称的直线是
$Bx +Ay+C=0$;
⑤$l$关于直线$y=-x$对称的直线是
$A(-y)+B(-x)+C=0$