(1)利用均值定理求最值,必须同时满足以下三个条件:一正、二定、三相等.
即 :①x,y都是正数.
②积xy(或和x+y)为常数.(有时需通过“配凑、分拆”凑出定值)
③x与y必须能够相等.(等号能够取到)
特别地,当式子中等号不成立时,则不能应用重要不等式,而改用函数的单调性求最值.
(2)构造定值条件的常用技巧
①加项变换;②拆项变换;③统一换元;④平方后利用基本不等式.
(3)基本不等式与最值
若x,y是正数，
①若$x+y=S$(和为定值),则当$x=y$时,积$x·y$取得最大值$\dfrac{S^2}{4} \left(xy\leqslant \left(\dfrac{x+y}{2} \right)^2=\dfrac{S^2}{4} \right)$
②若$x·y=P$(积为定值),则当$x=y$时,和$x+y$取得最小值$2\sqrt{P}(x+y\geqslant 2\sqrt{xy}=2\sqrt{P}$).
【说明】“和定积最大,积定和最小”即两个正数的和为定值时,可求其积的最大值;积为定值时可求其和的最小值.
在利用这个结论求最值时,要注意:
①式中各项系数需同号,都为正数时直接应用,都为负数时需提取一个负号;
②函数式中,含变量的各项的和或积必须是常数;
③只有各项相等时,才能利用算术平均数与几何平均数的关系求某些函数的最大值或最小值;
④等号成立的条件要注意分析,有时等号不成立.