设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续,在$(a,b)$内可导,求$f(x)$在$[a,b]$上最大值与最小值的步骤如下:
(1)求$f(x)$在$(a,b)$内的极值;
(2)将$f(x)$的各极值与端点处的函数值,$f(a),f(b)$比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
注意!
①求函数的最大值和最小值需先确定函数的极大值和极小值,因此,求出函数的极大值和极小值是关键.
极值与最值的关系:
极大(小)值不一定是最大(小)值,最大(小)值也不一定是极大(小)值.
②如果仅仅是求最值,还可将上面的办法化简,因为函数$f(x)$在$[a,b]$内的全部极值,只能在$f(x)$的导数为零的点或导数不存在的点取得(下称这两种点为可疑点),所以只需要将这些可疑点求出来,然后算出$f(x)$在可疑点处的函数值,与区间端点处的函数值进行比较,就能求得最大值和最小值.
③当$f(x)$为连续函数且在$[a,b]$上单调时,其最大值、最小值在端点处取得.