证明函数单调性的方法有：定义法（即比较法）；导数法。
实际上，用导数方法证明一般函数单调性是很便捷的方法，定义法是基本方法，常用来证明解决抽象函数或不易求导的函数的单调性。
一、定义法：利用增减函数的定义证明。在证明过程中，把数式的大小比较转化为求差比较（或求商比较）。
⑴转化为求差比较证明步骤：
①取值：设$x_1$，$x_2$为该区间内任意的两个值，且$x_1<$x_2$；
②作差、变形：作差$f(x_1)-f(x_2)$，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方向变形；。
③定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可考虑分类讨论；
④判断：根据定义作出结论。

(2)定义的另外两种等价形式：
设$x_1，x_2 \in [a,b]$，那么
①$\dfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1 -x_2} > 0 \Leftrightarrow f(x)$在$ [a,b]$上是增函数；
$\dfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1 -x_2} < 0 \Leftrightarrow f(x)$在$ [a,b]$上是减函数.
②$(x_1 -x_2) [f(x_1)-f(x_2)] > 0 \Leftrightarrow f(x)$在$ [a,b]$上是增函数；
$(x_1 -x_2) [f(x_1)-f(x_2)] < 0 \Leftrightarrow f(x)$在$ [a,b]$上是减函数.

注意：
①在用定义法证明单调性时，为了确定符号，一般是将$f(x_1)-f(x_2)$尽量分解出$x_1-x_2$因式，再将剩下的因式化成积商的形式，或化成几个非负实数的和等，这样有利于该因式的符号的确定.
②若要证明$f(x)$在区间上不上单调函数，只要举出反例即可，即只要找到两个特殊的$x_1$，$x_2$不满足定义即可。

⑵转化为求商比较证明程序：
①设任意的$x_1，x_2 \in D$，使$x_1< x_2 $ （若$0<x_1<x_2 $，则$\dfrac{x_2}{x_1}>1$；若$x_1 < x_2 < 0 $，则$0<\dfrac{x_2}{x_1}<1$）；
②求商—变形—判断小于或大于1；此为关键步骤，变形要注意“因式分解”。
求商：$\dfrac{f(x_2)}{f(x_1)}$； 变形：化简、因式分解； 判断：$\dfrac{f(x_2)}{f(x_1)}$小于或大于$1$。
③下明确结论，要注意商的分母的正负，即
若$\dfrac{f(x_2)}{f(x_1)}>1，且f(x_1)>0 \Rightarrow f(x_2)>f(x_1)$
若$\dfrac{f(x_2)}{f(x_1)}>1，且f(x_1)< 0 \Rightarrow f(x_2)<f(x_1)$。

二、导数法：利用函数单调性与可导函数的正负性关系证明。
设可导函数$f(x)$在定义域的某个区间$(a,b)$内，
如果$f'(x)>0$，那么函数$f(x)$在这个区间内单调递增；
如果$f'(x)<0$，那么函数$f(x)$在这个区间内单调递减。
求导证明函数单调性的程序：
①求函数$f(x)$的导数$f'(x)$；
②把$f'(x)$变形，化简，因式分解，判断正负；
③下明确结论。