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1.3.1 并集

  2016-11-10 09:16:39  

(1)并集的定义:一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合,称为集合A与B的并集,记作:$A\cup B$,读作:“A并B”.
符号语言表达式为:$A\cup B=\left\{ x|x\in A,x\in B \right\}$.
若用Venn图表示,则如图阴影部分所示.
(2)关于定义的理解:
①其中的“或”字的意义,用它连接的并列成分之间不一定是相互排斥的,
“$x\in A$或$x\in B$”这一条件,包括下列三种情况:$x\in A$,但$x\notin B$;
$x\in B$但$x\notin A$;$x\in A$,且$x\in B$(很明显,适合第三种情况的元素x构成的集合就是$A\cap B$,它不一定是空集).
②对于集合A.B中相同的元素,在$A\cup B$中只能出现一次,因为要满足集合中元素的互异性.
(3)并集的运算性质
①$\left( A\cup B \right)\supseteq A$; $\left( A\cup B \right)\supseteq B$;
②$A\cup A=A$;
③$A\cup \varnothing =A$;
④$A\cup B=B\cup A$.
注意!在解题中经常用到一个等价关系:$A\cup B=B\Leftrightarrow A\subseteq B$.
 
(北京高考)已知集合$P=\left\{ x|{{x}^{2}}\leqslant 1 \right\}$,$M=\left\{ a \right\}$,若$P\cup M=P$,则$a$的取值范围是(  ).
A.$\left( -\infty ,-1 \right] $
B.$\left[ 1,\infty  \right) $
C.$\left[ -1,1 \right] $
D.$\left( -\infty ,-1 \right]\cup \left[ 1,\infty  \right) $
解析  依题意:$P=\left[ -1,1 \right]$,
$\because P\cup M=P$,$\therefore M\subseteq P$,
又$M=\left\{ a \right\}$,
$\therefore a\in \left[ -1,1 \right]$.
故选C.
[答案] C
[总结提示]在解决集合与集合之间关系时,要认清集合的元素,紧扣集合的意义,化简给定的集合,确定集合中元素的性质.对于用描述法给出的集合$\left\{ x|x\in p\left( x \right) \right\}$,要紧扣代表元素$x$和它的特征性质$p\left( x \right)$.

 



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