（12分）
已知函数，为的导数。证明：
（1）在区间存在唯一极大值点；
（2）有且仅有个零点。
（1）因为，
所以，
令，则
，
因为，
所以在上单调递减，
因为，，
所以存在，使，
又因为在上单调递减，
所以当时，，单调递增，
时，，单调递减，
所以在区间存在唯一极大值点。
（2）因为，，，
所以由零点存在定理得，存在，使得，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
又因为，，
所以当时，存在一个零点。
当时，
所以当时，无零点。
所以当时，存在一个零点，
综上，有且仅有个零点。
本题主要考查导数在研究函数中的应用。
（1）求出函数的导函数，令，研究函数在区间的正负，判断函数的单调性，进而判断极大值点的个数。
（2）由（1）可知，当时，单调递减，当时，单调递增，当时，单调递减。在上，存在一个零点，当时，，所以当时，无零点，当，，单调递减，又因为，所以当时，存在一个零点，综上，有且仅有个零点。
