ch12_02

第十二章概率与统计
§12.2 离散型随机变量的期望和方差

复习目标

知识梳理

应用举例

实践体验

拓展探究

基础训练

提高训练

学习感悟

    一、复习目标
    了解离散型随机变量望值、方差的意义，会能根据离散型随机变量的分布列求期望值、方差．
    二、重点难点
    (这里输入)

    三、特别提示
   (1)离散型随机变量的期望期望 $E ξ 与方差 D ξ 均是一个实数，由 ξ 的分布列唯一确定． E ξ$ 是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均； $D ξ 表示随机变量 D ξ 对 E ξ 的平均偏离程度． D ξ$ 越大，表明平均偏离程度越大，说明数据的取值越分散．反之， $D ξ 越小， ξ$ 的取值越集中．注意随机变量的方差公式
$D ξ = {(x_{1} - E ξ)}^{2} P_{1} + {(x_{2} - E ξ)}^{2} P_{2} + \dots \dots + {(x_{n} - E ξ)}^{2} P_{n}$ 与初中所学的样本方差公式
$s^{2} = \frac{1}{n} [{(x_{1} - \bar{x})}^{2} + {(x_{2} - \bar{x})}^{2} + \dots \dots + {(x_{n} - \bar{x})}^{2}]$ 的区别与联系．
    (2)求离散型随机变量 $ξ$ 的期望与方差的方法
    ①理解xi的意义，写出 $ξ$ 可能取的全部值；
    ②求 $ξ$ 取每个值的概率；
    ③写出 $ξ$ 的分布列；
    ④由期望的定义求 $E ξ$ ；
    ⑤由方差的定义求 $D ξ$ .

    知识梳理
    1、离散型随机变量的期望与方差
    (1)、若离散型随机变量

ξ

的概率分布为

P (ξ ＝ x_{i}) ＝ P_{i}, i ＝ 1, 2, 3, \dots \dots

1，2，…，则称

E ξ ＝ x_{1} P_{1} + x_{2} P_{2} + \dots + x_{n} P_{n} + \dots 为 ξ

的数学期望或平均数,均值.

若 η = a ξ + b ，

其中a、b是常数，则

η 也 是 随 机 变 量 ， 期 望 为 E η = a E ξ + b ， 即 E (a ξ + b) ＝ a E ξ + b, 若 ξ ～ B (n ， p) ， 则 E ξ = n P .

(2)、方差：

把 {(x_{1} - E ξ)}^{2} \cdot P_{1} + {(x_{2} - E ξ)}^{2} \cdot P_{2} + \dots \dots {(x_{n} - E ξ)}^{2} \cdot P_{n} + \dots \dots 叫 做 随 机 变 量 ξ

的均方差,简称为方差；标准差是

σ ξ = \sqrt{D ξ}, D (a ξ + b) = a^{2} D ξ

若

ξ ～ B (n ， p) ， 那 么 D ξ

＝npq．

    应用举例
    一、应用特点
    1、离散型随机变量的期望与方差的求法
    2、离散型随机变量的期望与方差的性质及应用
    3、期望与方差在实际问题中的应用

二、案例示范
(回味相关知识与方法，寻找解题办法，若有困难，可以参考“提示”，还有困难，可以参考“解答”或倾听老师的分析示范)

1、有10张卡片,其中8张标有数字2,2张标有数字5,从中随机地抽取3张卡片,设3张卡片数字之和为 $ξ$ ,求 $E ξ, D ξ .$ 先求随机变量的分布列,再用期望和方差公式求 $E ξ 和 D ξ$ .

提示	示范
(提示内容)
解: $ξ 的取值有 3 种可能： 6 或 9 或 12 ，$ $P (ξ = 6) = \frac{C_{8}^{3}}{C_{10}^{3}} = \frac{7}{15},$ $P (ξ = 9) = \frac{C_{8}^{2} C_{2}^{1}}{C_{10}^{3}} = \frac{7}{15},$ $P (ξ = 12) = \frac{C_{8}^{1} C_{2}^{2}}{C_{10}^{3}} = \frac{1}{15},$ $D ξ = \frac{7}{15} {(6 - 7.8)}^{2} + \frac{7}{15} {(9 - 7.8)}^{2} + \frac{1}{15} {(12 - 7.8)}^{2} = 3.36$ 评说:分布列、期望、方差“三步曲”是解离散型随机变量问题的常规思路．期望和方差的求法要记住，对一些典型的随机变量的期望和方差也要记住．

2、一盒中装有零件12个,其中有9个正品,从中任取一个,如果每次取出次品就不再放回去,再取一个零件,直到取得正品为止,求在取得正品之前已取出次品数的期望.
　

提示	示范
此题为几何分布,利用几何分布的相关知识即可求解.
解:设取得正品之前取出的次品数为 $ξ ，显然 ξ$ 所有可能取的值为0,1,2,3. $当 ξ = 0 时, 即第取得正品，试验停止, 则 P (ξ = 0) = \frac{9}{12} = \frac{3}{4},$ $当 ξ = 1 时, 即第一次取得次品, 第二次取得正品, 试验停止, 则 P (ξ = 1) = \frac{3}{12} \times \frac{9}{11} = \frac{9}{44},$ $当 ξ = 2 时, 第一, 二次取得次品, 第三次取得正品, 试验停止, 则 P (ξ = 2) = \frac{3}{12} \times \frac{2}{11} \times \frac{9}{10} = \frac{9}{220},$ $当 ξ = 3 时, 即第一, 二, 三次取得次品, 第四次取得正品, 试验停止, 则 P (ξ = 3) = \frac{3}{12} \times \frac{2}{11} \times \frac{1}{10} \times \frac{9}{9} = \frac{1}{220}$ $∵ E ξ = 0 \times \frac{3}{4} + 1 \times \frac{9}{44} + 2 \times \frac{9}{220} + 3 \times \frac{1}{220} = \frac{3}{10}$ 评说:正确识别分布列的类型是解决有关概率问题的关键步骤．

3、一次数学测验由25个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，每个选择正确答案得4分，不作出选择或选错的不得分，满分100分，某学生造对任一题的概率为0.8，求此学生在这一次测验中的成绩的期望与方差．
　

提示

示范

解:用xi表示这个学生在这次数学测验中选择了正确答案的题个数，

η 表 示 成 绩 ， 则 η ~ (25 ， 0 ． 8),

    $∵ E ξ = 25 \times 0.8 = 20$
    $D ξ ＝ 25 \times 0 ． 8 \times 0.2 ＝ 4$ ，
    $E η ＝ E (4 ξ) ＝ 4 E ξ ＝ 4 \times 20 ＝ 80$ ，
    $D η ＝ D (4 ξ) ＝ 16 D ξ ＝ 16 \times 4 = 64$ ．
    此学生在这一次测验中的成绩的期望和方差分别是80和60

评说:对于服从二项分布的随机变量,即 $ξ ~ B (n, p), 有 D ξ = n p (1 - p)$

实践体验
在实践中提高能力，在体验中反思感悟，力求独立，力求提高.

    1、设离散型随机变量 $ξ 可能取的值为 1 ， 2 ， 3 ， 4 ． P (ξ = k) ＝ a k + b (k ＝ 1 ， 2 ， 3 ， 4) ．又 ξ$ 的数学期望 $E ξ = 3 ，$ 则a+b=_______.

    提示示范　

    (提示内容)

    解:由题意，知a+b+2a+b+3a+b+4a+b=1,
    即10a+4b＝1．
    $E ξ = (a + b) + 2 (2 a + b) + 3 (3 a + b) + 4 (4 a + b)$
    即30a+10b＝3．
    由①②解得b=0, $a = \frac{1}{10} . ∵ a + b = \frac{1}{10}$
    答案： $\frac{1}{10}$
评说:离散型随机变量 $ξ$ 的取值的概率之和等于1，这一点易被人们忽略．

   2、100名战士举行射击练习，每人每次的命中概率为0.8，每人至多射4次，但若中靶，则不再射击，且各次射击互不影响，问平均来看，应准备多少发子弹为宜?

    提示示范　

    (提示内容)

    解:记一名战士射击的次数为xi则其概率分布列为

$ξ$

1

2

3

4

P

0.8

$0.2 \times 0.8$

${0.2}^{2} \times 0.8$

${0.2}^{3}$

    则其期望为
    $E ξ ＝ 1 \times 0.8 + 2 \times 0.16 + 3 \times 0.032 + 4 \times 0.008 = 1.248$
    $E (100 ξ) ＝ 100 E ξ ＝ 124.8 \approx 125 (发) ．$
    答：应准备125发子弹为宜．

   评说:本例 $ξ ＝ 4 的概率也可通过 1 - 0.8 - 0.2 \times 0.8 \times {0.2}^{2} \times 0.8 = 0.008 来求，$
可避免求概率时出现错误结果．

拓展探究
1、甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等．而两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为：

甲保护区

$ξ$	0	1	2	3
P	0.3	0.3	0.2	0.2

乙保护区

$ξ$	0	1	2
P	0.1	0.5	0.4

试评定这两个保护区的管理水平．

提示	示范
(提示内容)
解:(1)甲： $E ξ_{1} = 1.3$ $D ξ_{1} = 1.21$ (2)乙： $E ξ_{2} = 1.3$ $D ξ_{2} = 0.41$ $E ξ_{1} = E ξ_{2} D ξ_{1} > D ξ_{2}$ .:两个保护区违规次数相同，乙违规次数相对集中稳定，甲相对分散和波动。评说:方法点拨：求离散型随机变量的分布列，应按下述三个步骤进行： (1)明确随机变量的所有可能取值，以及取每个值时所表示的意义； (2)利用概率的有关知识求出随机变量取每个值的概率； (3)按规范形式写出分布列，并用分布列的性质验证．

基础训练(1)

l、下列说法中正确的是(　　 )
A．离散型随机变量

ξ

的期望

E ξ 反 映 了 ξ

取值的概率的平均值
B．离散型随机变量

ξ

的方差

D ξ 反 映 了 ξ

取值的平均水平
C．离散型随机变量

ξ

的期望

E ξ 反 映 了 ξ

取值的平均水平
D．离散型随机变量

ξ

的方差

D ξ 反 映 了 ξ

取值的概率的平均值
2、某牧场的100头牛因误食疯牛病毒污染的饲料被感染，已知疯牛病发病的概率为0．03．若发病的牛数
为

ξ, 则 D ξ

等于( 　　)
A．2．19 　　B．0．29l 　　C．3．00　　　D．2．91
3、某一离散型随机变量xi的概率分布如下表，且

E ξ

=1．5，a-b等于 (　　)

$ξ$	0	1	2	3
$η$	0.1	a	b	0.1

    A．-0．1　　　 B．0 　　　　C．0．1　　　　 D．0．2
    4、一台机器生产某种产品，如果生产出一件甲等品可获利50元，生产出一件乙等品可获利30元，生产出一件次品，要赔20元，已知这台机器生产出甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6、0.3和0.1，则这台机器每生产一件产品平均预期可获利( 　　)
    A．36元　　B．37元　　　C．38元　　　 D．39元
    5、同时抛掷两枚相同的均匀硬币，随机变量 $ξ$ ＝1表示结果中有正面向上， $ξ$ ＝o表示结果中没有正面向上，则 $E ξ$ ＝___________．
    6、设随机变量 $ξ$ 的概率分布如下表，则 $ξ$ 的数学期望 $E ξ$ 的最大值为_________．

$ξ$	0	1	2
$η$	$1 - \frac{2}{3} p$	$\frac{p}{3}$	$\frac{p}{3}$

    7、某两个数学班的学生成绩统计中，甲班标准差大于乙班标准差，而平均成绩相同，说明_________．
    8、 6枝粉笔中有4枝白粉笔．若
    (1)从中不放回地连取3枝，求其中白粉笔数 $ξ$ 的期望；
    (2)从中有放回地连取3枝，求其中白粉笔数 $η$ 的期望，

参考答案

l、下列说法中正确的是(　 C　 )
A．离散型随机变量

ξ

的期望

E ξ 反 映 了 ξ

取值的概率的平均值
B．离散型随机变量

ξ

的方差

D ξ 反 映 了 ξ

取值的平均水平
C．离散型随机变量

ξ

的期望

E ξ 反 映 了 ξ

取值的平均水平
D．离散型随机变量

ξ

的方差

D ξ 反 映 了 ξ

取值的概率的平均值
2、某牧场的100头牛因误食疯牛病毒污染的饲料被感染，已知疯牛病发病的概率为0．03．若发病的牛数
为

ξ, 则 D ξ

等于( D　)
A．2．19 　　B．0．29l 　　C．3．00　　　D．2．91
3、某一离散型随机变量xi的概率分布如下表，且

E ξ

=1．5，a-b等于 (　B　)

$ξ$	0	1	2	3
$η$	0.1	a	b	0.1

    A．-0．1　　　 B．0 　　　　C．0．1　　　　 D．0．2
    4、一台机器生产某种产品，如果生产出一件甲等品可获利50元，生产出一件乙等品可获利30元，生产出一件次品，要赔20元，已知这台机器生产出甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6、0.3和0.1，则这台机器每生产一件产品平均预期可获利( B　)
    A．36元　　B．37元　　　C．38元　　　 D．39元
    5、同时抛掷两枚相同的均匀硬币，随机变量 $ξ$ ＝1表示结果中有正面向上， $ξ$ ＝o表示结果中没有正面向上，则 $E ξ$ ＝___________．
    答案： $\frac{3}{4}$
    6、设随机变量 $ξ$ 的概率分布如下表，则 $ξ$ 的数学期望 $E ξ$ 的最大值为_________．

$ξ$	0	1	2
$η$	$1 - \frac{2}{3} p$	$\frac{p}{3}$	$\frac{p}{3}$

    答案： $\frac{3}{2}$
    7、某两个数学班的学生成绩统计中，甲班标准差大于乙班标准差，而平均成绩相同，说明_________．
    答案：乙班学生成绩比较整齐，而甲班学生成绩差异较大
    8、 6枝粉笔中有4枝白粉笔．若
    (1)从中不放回地连取3枝，求其中白粉笔数 $ξ$ 的期望；
    (2)从中有放回地连取3枝，求其中白粉笔数 $η$ 的期望，
    答案：(1) 2    (2) 2

提高训练(1)

1、已知随机变量

ξ \approx B (n, p) ， 且 E ξ ＝ 12 ， D ξ ＝ 2 ． 4 ，

则n与p的值分别是( )
    A．15与0．8     B．16与0．8     C．20与0．4     D．12与0．6
    2、一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标有数0，两个面上标有数1，一个面上标有数2，将这个小正方体
抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是________
    3、高二(1)班的一个研究性学习小组在网上查知，某珍稀植物种子在一定条件下发芽成功的概率为

\frac{1}{2}

，该研究性学习小组又分成两个小组进行验证性实验．
(1)第一小组做了5次这种植物种子的发芽实验(每次均种下一粒种子)，求他们的实验至少有3次成功的概率；
(2)第二小组做了若干次发芽实验(每次均种下一粒种子)，如果在一次实验中种子发芽成功就停止实验，否则将继续进行下次实验，直到种子发芽成功为止，但发芽实验的次数最多不超过5次，求第二小组所做种子发芽实验的次数

ξ

的概率分布列和期望．
4、在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x、y，记

ξ = | x - 2 | + | y - x |

(1)求随机变量

ξ

的最大值，并求事件“

ξ

取得最大值”的概率：
(2)求随机变量

ξ

的分布列和数学期望．

参考答案

1、已知随机变量

ξ ~ B (n, p) ， 且 E ξ ＝ 12 ， D ξ ＝ 2 ． 4 ，

则n与p的值分别是( A )
    A．15与0.8     B．16与0.8     C．20与0.4     D．12与0.6
    2、一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标有数0，两个面上标有数1，一个面上标有数2，将这个小正方体
    抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是________
    答案：

\frac{4}{9}

3、高二(1)班的一个研究性学习小组在网上查知，某珍稀植物种子在一定条件下发芽成功的概率为

\frac{1}{2}

ξ

的概率分布列和期望．
答案：(1)

\frac{1}{2} (2) \frac{1}{2} \frac{1}{4} \frac{1}{8} \frac{1}{16} \frac{1}{16} \frac{31}{16}

4、在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x、y，记

ξ ＝ | x - 2 | + | y - x |

(1)求随机变量

ξ

的最大值，并求事件“

ξ

取得最大值”的概率：
(2)求随机变量

ξ

的分布列和数学期望．
答案：

(1) 3 \frac{2}{9} (2) \frac{1}{9} \frac{4}{9} \frac{2}{9} \frac{2}{9} \frac{14}{9}

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