应用举例 一、
应用特点
1、离散型随机变量的概念的应用.
2、求随机变量的分布列.
3、分布列与相关知识的综合应用. 二、案例示范
(回味相关知识与方法,寻找解题办法,若有困难,可以参考“提示”,还有困难,可以参考“解答”或倾听老师的分析示范)
1、写出下列随机变量可能的取值,并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果.
(1)一袋中装有5只同样大小的白球,编号为1,2,3,4,5,现从该袋内随机取出3只球,被取出的球的最大号码数为`xi`;
(2)某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数`tea`.
提示 |
示范 |
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随机变量表示随机试验的结果,由实际意义决定可能的取值. |
解:(1)`xi`可取3,4,5.
`xi`=3,表示取出的3个球的编号为1,2,3;
`xi`=4,表示取出的3个球的编号为1,2,4或1,3,4或2,3,4;
`xi`=5,表示取出的3个球的编号为1,2,5或1,3,5或1,4,5或2,3,5或2,4,5或3,4,5;
(2)`eta`的可能取值为0,l……n…….`eta`=i,表示被呼叫i次,其中i=1,2,……
评说:随机变量所表示的实验结果,它的可能取值是人为建立起来的一种对应关系. |
2、"掷一颗正方体骰子"是随机现象,用随机变量表示出现的点数,求:
(1)`xi`的分布列;(2)P(`xi`>4)及P(`2<=xi`<5).
提示 |
示范 |
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掷一颗正方体骰子,六个面中任何一个面向上是等可能的,即概率是`1/6`. |
解:(1)因为骰子是均匀的,所以出现每一面的概率均为`1/6`,故分布列为:
`xi` |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
P |
`1/6` |
`1/6` |
`1/6` |
`1/6` |
`1/6` |
`1/6` |
(2)`P(xi>4)=P(xi=5)+P(xi=6)=1/3,P(2<=xi<=5)=P(xi=2)+P(xi=3)+P(xi=4)=1/6xx3=1/2.`
评说:由随机变量`xi`的分布列可求某一范围内取值的概率,如求P(`k_1<=xi<=k_2`),由概率加法得,
将在`[k_1,k_2]`内各随机变量的概率相加得和即可. |
3、袋子装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为1/7,现有甲乙两人从袋子中轮流摸取1球,甲先取,乙后取,然后甲再取……取球后不放回,直到两人中有一人取到白球时终止,每个球在每一次被取出的机会是等可能的,用`xi`表示取球终止所需要的取球次数.
(1)求袋中所有的白球的个数;
(2)求随机变量`xi`的概率分布;
(3)求甲取到白球的概率.
提示 |
示范 |
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本题考查的是等可能事件的概率及分布列的有关知识及分析问题解决问题的能力. |
解:(1)设袋中原有n个白球,由题意知`1/7=(C_n^2)/(C_7^2)=n(n-1)/2
/(7xx6/2)=n(n-1)/7xx6 `
可得n=3或n=-2(舍去)
答:袋中原有3个白球.
(2)由题意,`eta的可能取值为l,2,3,4,5. P(eta=1)=3/7;P(eta=2)=(4xx3)/(7xx6)=2/7;P(eta=3)=(4xx3xx3)/(7xx6xx5)=6/35;`
`P(eta=4)=(4xx3xx2xx3)/(7xx6xx5xx4)=3/35; P(eta=5)=(4xx3xx2xx1xx3)/(7xx6xx5xx4xx3)=1/35.`
所以的分布列为:
`xi` |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
`eta` |
`3/7` |
`2/7` |
`6/35` |
`3/35` |
`1/35` |
(3)因为甲先取,所以甲只有可能在第一次,第三次和第五次取球,记甲取到白球为事件A,则
`P(A)=P(xi=1)+P(xi=3)+P(xi=5)=22/35`
甲取到白球的概率为`22/35`.
评说:关于离散型随机变量分布列的计算方法如下:
(1)写出`xi`的所有可能取值;
(2)利用随机事件概率的计算方法,求`xi`取各个值的概率
(3)利用(1)(2)的结果写出`xi`的分布列. |
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