二、重点难点
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    三、特别提示
    (1)两个事件A与B是互斥事件，有如下三种情况：①若事件A发生，则事件B就不发生；②若事件B发生，则事件A就不发生；③事件A、B都不发生．两个事件A与B是对立事 件，仅有前两种情况．因此，互斥未必对立，但对立一定互斥．
    (2)只有事件A、B互斥时，才有公式P(A+B)＝P(A)+P(B)，否则公式不成立．
    (3)求复杂的互斥事件的概率，一般有两种方法：一是直 接求解法，将所求事件的概率分解成一些彼此互斥的事件的概率的和，分解后的每个事件概率的计算通常为等可能性事 件的概率计算，求n2与n时要正确应用排列组合公式，其关键 在于确定事件是否互斥，是否完备；二是间接求解法，先求出 此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1-P(A)，即运 用逆向思维法(正难则反)．特别是解决“至多”“至少”型的题目，用方法二就显得比较方便．

    1、互斥事件:事件A与事件B不可能同时发生,这种不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件.
如果事件${\displaystyle A_1,A_2,A_3\dots \dots A_n}$中的任何两个都是互斥事件,那么就说${\displaystyle A_1,A_2,A_3\dots \dots A_n}$是事件彼此互斥
    2、对立事件：对于两个事件而言，这种其中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件．
事件A的对立事件通常记作${\displaystyle \overline{A}}$． 从集合的角度看，由事件${\displaystyle \overline{A}}$所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．
    3、如果事件A、B互斥，那么事件A+B发生(即A、B中 有一个发生)的概率，等于事件A、月分别发生的概率的和． P(A+B)＝P(A)+(B)． 一般地，如果事件${\displaystyle A_l、A_2、\dots 、A_n。}$彼此互斥，那么事件；${\displaystyle A_1+A_2+A_3\dots +A_n。}$发生(即${\displaystyle A_l、A_2、\dots 、A_n。}$中恰有一个发生)的概率，等于这n个事件分别发生的概率的 和，
即${\displaystyle P(A_1+A_2+A_3\dots +A_n)}$＝1．
    4、对立事件的概率的和为1，${\displaystyle 即P\left(A\right)+P\left(\overline{A}\right)=1，它的变形形式为P\left(\overline{A}\right)}$=1-P(A)：

    二、案例示范
    (回味相关知识与方法，寻找解题办法，若有困难，可以参考“提示”，还有困难，可以参考“解答”或倾听老师的分析示范)

    1、 某射手在一次射击中命中9环的概率是0.28，命中8环的概率是0.19，不够8环的概率是0.29．计算这个射手在一次射击中命中9环或10环的概率．

    1、袋中有红、黄、白3种颜色的球各1只，从中每次任取1只，有放回地抽取3次，求；
    (1)3只全是红球的概率；
    (2)3只颜色全相同的概率；
    (3)3只颜色不全相同的概率；
    (4)3只颜色全不相同的概率．

提示	示范
(提示内容)
解:(1)记“3只全是红球”为事件A．从袋中有放回地抽取3次，每次取1只，共会出现${\displaystyle 3\times 3\times 3＝27}$(种)等可能的结果，其中3只全是红球的结果只有1种，故事件A的概率为${\displaystyle P\left(A\right)=\frac{1}{27}}$     (2)“3只颜色全相同”只可能是这样三种情况：“3只全是红球”(事件A)；“3只全是黄球”(设为事件B)；“3只全是白球”(设为事件C)．故“3只颜色全相同”这个事件可记为A+B+C事件A、B、C是互斥事件，不难得到 P(A)＝P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=${\displaystyle \frac{1}{9}}$     3)3只颜色不全相同(记为事件D)的情况较多，可考虑其对立事件${\displaystyle \overline{D}}$“三只颜色全相同”，故${\displaystyle P\left(D\right)=l-P\left(\overline{D}\right)}$＝1-1/9=${\displaystyle \frac{8}{9}}$     (4)要使3只颜色全不相同，只可能是红、黄、白各一只．3次抽到红、黄、白各一只的可能结果有${\displaystyle C_3^1{C}_2^1{C}_1^1=6}$种，故3只颜色全不相同的概率为${\displaystyle \frac{6}{27}=\frac{2}{9}}$．    评注:运用互斥事件的概率加法公式解题时，首先要分清事件间是否互斥，同时要学会把一个事件分拆为几个互斥事件，做到无重无漏．

    2、有4位同学，每人买1张体育彩票，求至少有2位同学彩票号码的末位数字相同的概率．

提示	示范
(提示内容)
解:先求对立事件${\displaystyle \overline{A}的概率，\overline{A}表示“4位同学所买彩票的末位数字各不相同”}$，该事件中每人所买彩票的末位数字均有0，1，2，…，9十种可能，故基本事件的总数为10个．欲使末位数字全不相同，则第l位同学的未位数字有10种情况，第2位同学只能有9种，第3位同学有8种，第4位同学仅有7种，     故${\displaystyle P\left(\overline{A}\right)=\frac{A_{10}^4}{{10}^4}=\frac{63}{125}．}$ 于是至少有2位同学的末位数字相同的概率为${\displaystyle P\left(A\right)＝1-P\left(\overline{A}\right)=\frac{62}{125}．}$4人各买彩票一张，至少2人未位数字相同的概率${\displaystyle \frac{62}{125}}$    评注:直接计算符合条件的事件个数较繁时,可间接地先计算对立事件的个数,求得对立事件的概率,再求出符合的 事件的概率.

    学习感悟
    1、两个互斥事件不一定是对立事件，而两个对立事件必为互斥事件，
    2、从集合的角度来理解互斥事件，对立事件及互斥事件的概率加法公式。
设事件A和B所包含的结果组成的集合是A、B。若事件A与B互斥，即集合${\displaystyle A\cap B=，}$若事件A与B对立，即集合${\displaystyle A\cap B=且A\cup B=U，也即A=C_U\left(B\right)或B=C_U\left(A\right)，}$对互斥事件A+B（即事件A发生或事件B发生）即可理解为集合${\displaystyle A\cup B}$，由等可能事件的概率公式知:
${\displaystyle (A+B)=\frac{card(A+B)}{\left(card\left(U\right)\right]}}$
 ${\displaystyle =\frac{card(A\cup B)}{card\left(U\right)}}$
${\displaystyle =\frac{card\left(A\right)+card\left(B\right)}{card\left(U\right)}}$
${\displaystyle =\frac{card\left(A\right)}{card\left(U\right)}+\frac{card\left(B\right)}{card\left(U\right)}=P\left(A\right)+P\left(B\right)}$
    3、事件间的“互斥”与“相互独立”是两个不同的概念，事件互斥是指两个不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响。前者是指同一次试验中的两事件不能同时发生，而两个相互独立事件是指在不同试验下的，二者互不影响，两个相互独立事件不一定互斥，即可能同时发生，而互斥事件不可能同时发生。