第八章  圆锥曲线方程
 §8.5 轨迹与方程

复习目标 知识梳理 应用举例 实践体验 拓展探究 基础训练 提高训练 学习感悟
    一、复习目标
    理解轨迹的概念,能够根据所给条件选择恰当的直角坐标系,运用常用的求轨迹方程的办法求曲线方程.

    二、重点难点
   

    三、特别提示
    1、求曲线方程之前，必须确定问题中的坐标系是否建立，对于坐标系未建立的问题，应先建立坐标系。
　　2、求曲线方程时，应注意其纯粹性与完备性，也就是把需要剔除点剔除；对于遗漏的曲线要补上来，即轨迹若是曲线的一部分，应对方程注明x的取值范围，或同时注明`x，y`的取值范围。
　　3、“轨迹”与“轨迹方程”既有区别又有联系，求“轨迹”是首先要求出“轨迹方程”，然后再说明方程的轨迹图形，最后“补漏”和“去掉增多”的点，若轨迹有不同的情况，应分别讨论，以保证它的完整性。
　　4、轨迹方程(曲线方程)的考查以解答题形式出现，在求解过程时，要经历审题，寻找和确定求解途径，分析解题步骤，逐步推演，综合陈述，完整作答或给出恰当的结论等多个不可缺少的环节。因此正确探明题目所蕴含的数学信息，广泛联想题目所涉及到的概念，公式，定理，创造性地组合各种信息来求得题目的解决。
    知识梳理
     1、曲线与方程
    一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线`C`上的点与一个二元方程`f(x,y)＝0`的实数解建立了如下的关系：
    (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；
    (2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上．
　　那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫方程的曲线。
　　曲线既可以看作是符合某种条件的点的集合，又可以看作满足某种条件的动点运动的轨迹，因此，此类问题有时也叫做轨迹问题。
　　2、求曲线轨迹方程的基本步骤
　　(1)建立恰当的平面直角坐标系，设出轨迹上任一点的坐标——解析法(坐标法)
　　(2)寻求动点与已知点满足的关系式——几何关系
　　(3)将动点与已知点坐标代入——几何关系代数化
　　(4)化简整理方程——简化
　　(5)证明所得方程为所求的轨迹方程——完成其充要性
　　3、求曲线轨迹方程的常用方法.
　　(1)直接法：也叫直译法，即根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式(如两点间距离公式，点到直线距离公式，夹角公式等)进行整理，化简，如前面所学的圆锥曲线方程等.
　　(2)定义法：若动点轨迹满足已知曲线的定义，可先设方程，再确定其中的基本量.
　　(3)代入法：也叫相关点法，其特点是：动点`M(x,y)`的坐标取决于已知曲线`C`上的动点`(x',y')`的坐标，可先用`x,y`表示`x',y'`，再代入曲线`C`的方程，即得点`M`的轨迹方程.
　　(4)参数法：选取适当的参数，分别用参数表示动点坐标`x，y`，得出轨迹的参数方程，削去参数，即得普通方程。选参数时必须首先充分考虑到制约动点的各种因素，然后再选取合适的参数，因为参数不同，会导致运算量的不同，常见的参数有角度，直线的斜率，点的横纵坐标，线段长度等。
    应用举例
    一、 应用特点
    1、用五步求曲线的轨迹；
    2、用定义法求曲线轨迹方程；
    3、用代入法求曲线轨迹方程.

    二、案例示范
    (回味相关知识与方法，寻找解题办法，若有困难，可以参考“提示”，还有困难，可以参考“解答”或倾听老师的分析示范)

    1、一圆被两直线`x+2y=0,x-2y=0`截得的弦长分别为8和4，求动圆圆心的轨迹方程。

    提示 示范 　

    2、 如图，已知线段`|AB|=4`，动圆`O'`与线段`AB`切于点C且满足|AC|-|BC|=`2root()(2)`，过点`A、B`分别作圆`O'`的切线，两切线相交与`P`，且`P、O'`均在`AB`同侧，建立适当坐标系，当`O'`位置变化时，求动点`P`的轨迹方程。
    提示 示范 　

    3、试确定`m`的取值范围，使得椭圆`x^2/4+y^2/3=1`上有不同两点关于直线`y=4x+m`对称。
    提示 示范 　

    实践体验
    (在实践中提高能力，在体验中反思感悟，力求独立，力求提高)
    1、设`A`为直线`l`外一定点,点`A`到直线`l`的距离为`p,BC`为直线`l`上定长线段,且`BC=2p`,当`BC`在直线`l`上滑动时,建立适当的坐标系,求`DeltaABC`的外心`M`的轨迹方程,并说明它表示什么曲线.
    提示 示范 　

    2、 如图,已知圆`A:(x+2)^2+y^2=1`与点`A(-2,0),B(2,0)`,分别求出满足下列条件的动点`P`的轨迹方程.
    (1)`DeltaPAB`的周长为10;
    (2)圆`P`过点`B`且与圆`A`外切(`P`为动圆圆心);
    (3)圆`P`与圆`A`外切且与直线`x=1`相切(`P`为动圆圆心).
    提示 示范 　

    拓展探究
    1、在平面直角坐标系xOy中,抛物线`y=x^2`上异于坐标原点O的两不同动点A,B满足`OA_|_OB`.
    (1)求`DeltaAOB`的重心`G`的轨迹方程.
    (2)`DeltaAOB`的面积是否存在最小值?若存在,求出最小值;若不存在,说明理由.
    提示 示范 　

　
    基础训练
    参考答案

 
    提高训练
    参考答案

    学习感悟
    1、求轨迹方程的基本步骤是：
　　(1)建立适当的直角坐标系，设轨迹上任一点的坐标是`(x,y)`；
　　(2)寻找动点与已知点满足的关系；
　　(3)将动点与已知点坐标代入；
　　(4)化简整理方程；
　　(5)证明所得方程为所求曲线的方程。通常求轨迹方程时，可将步骤(2)和步骤(5)省略，但应注明轨迹方程中变量的限制条件
　　2、求曲线轨迹方程的常用方法
　　(1)直接法：建系、设点、列式、代换、化简、证明(可省略)，使用于动点满足的条件易于列出，是求曲线轨迹方程是基本的方法。
　　(2)定义法：若动点P的轨迹符合某已知曲线的定义，可直接设出相应的曲线方程，用待定系数法或题中所给几何条件确定相应系数，从而求出方程。
　　(3)代入法：若动点`P(x,y)`的变动依赖于另一动点`Q(x_0,y_0)`，而`Q(x_0,y_0)`在某已知曲线`f(x,y)=0` 上，则可先写出方程`f(x_0,y_0)`，再找出`(x_0,y_0)`与`(x,y)`之间的关系，代入已知方程便可得到动点适合的曲线方程。
　　(4)参数法：动点`P(x,y)`坐标之间的关系不易直接找到，但其用第三变量t可表示为`{(x=f(t)),(y=g(t))}`，消去参数`t`，即可得出`P(x,y)`的轨迹方程`F(x,y)=0`。
　　(5)待定系数法：题设条件已确定曲线类型，可建立有关系数为变量的方程(组)，用待定系数法确定曲线中系数而得出方程。
　　3、求诡计方程应注意的地方
　　(1)注意题目中的隐含条件，也就是曲线上点的坐标和取值范围。曲线的方程概念可知，在求曲线方程时一定要注意它的完备性和纯粹性；轨迹若是曲线的一部分，应对方程注明x的取值范围。
　　(２)若轨迹有不同的情况，应分别讨论，以保证它的完整性。

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