评注:本题主要考查利用抛物线的定义解题，同时对于一些特殊情况不容忽视，否则会产生漏解。

   评注: 涉及曲线交点问题时，通过解方程组，一般会用上韦达定理，这种问题若直接求根是不明智的解法。

    当直线${\displaystyle l}$的斜率不存在时，直线${\displaystyle l}$的方程为${\displaystyle x=3}$，此时，直线${\displaystyle l}$与抛物线相交与点A(3,${\displaystyle \sqrt[]{6}}$)、B(3,- ${\displaystyle \sqrt[]{6}}$ )
    ${\displaystyle \therefore }$${\displaystyle \overrightarrow{OA}}$${\displaystyle \overrightarrow{OB}}$=3
    当直线${\displaystyle l}$的斜率存在时，设直线${\displaystyle l}$的方程为${\displaystyle y=k(x-3)}$，其中${\displaystyle k\ne 0}$。
    由${\displaystyle \{\begin{array}{l}{y}^2=2x\\ y=k(x-3)\end{array}}$，得${\displaystyle k{y}^2-2y-6k=0,\therefore y_1{y}_2=-6}$。
    又${\displaystyle \because x_1=\frac{1}{2}{y}_1^2，x_2=\frac{1}{2}{y}_2^2\because .\overrightarrow{OA}}$${\displaystyle \overrightarrow{OB}=x_1{x}_2+y_1{y}_2=\frac{1}{4}{\left(y_1{y}_2\right)}^2+y_1{y}_2=3}$。
    综上所述，命题“如果直线l过点${\displaystyle T(3,0)}$，那么${\displaystyle \overrightarrow{OA}}$${\displaystyle \overrightarrow{OB}}$=3”是真命题。
    (2)解析：逆命题是：设直线${\displaystyle l}$交抛物线${\displaystyle y^2=2x}$与${\displaystyle A、B}$两点，如果${\displaystyle \overrightarrow{OA}}$${\displaystyle \overrightarrow{OB}}$=3，那么该直线过点${\displaystyle T(3,0)}$，该命题是假命题。例如：取抛物线上的点${\displaystyle A(2,2)、B(\frac{1}{2},1)}$，此时${\displaystyle \overrightarrow{OA}}$${\displaystyle \overrightarrow{OB}}$=3，直线${\displaystyle AB}$的方程为:${\displaystyle y=\frac{2}{3}(x+1)}$，而${\displaystyle T(3,0)}$不在直线AB上。
    说明：由抛物线${\displaystyle y^2=2x}$的点${\displaystyle A(x_1,y_1)、B(x_2,y_2)}$满足${\displaystyle \overrightarrow{OA}}$${\displaystyle \overrightarrow{OB}}$=3，可得${\displaystyle y_1{y}_2=-6}$或${\displaystyle y_1{y}_2=2}$如果${\displaystyle y_1{y}_2=-6}$，可证得直线${\displaystyle AB}$过点(3,0)；如果${\displaystyle y_1{y}_2=2}$，可证得直线${\displaystyle AB}$过点(-1,0)，而不过点(3,0)。

   评注:无论题目问题多么新颖，都可以转化为我们所熟悉的类型，所以，对于 圆锥曲线的基本题型，基本解法一定要理解透，掌握好。

    解:方法一：设所求抛物线方程为${\displaystyle x^2＝－2py(p＞0)}$，则焦点为${\displaystyle F(0,-\frac{p}{2})}$．
    ∵${\displaystyle M(m,－3)}$在抛物线上，且${\displaystyle \left|MF\right|＝5}$，
    故${\displaystyle \{\begin{array}{l}{m}^2=6p\\ \sqrt[]{m^2+{(-3+\frac{p}{2})}^2}=5\end{array}}$解得${\displaystyle \{\begin{array}{l}p=4\\ m＝\pm 2\sqrt[]{6}\end{array}}$
    ∴抛物线方程为${\displaystyle x^2＝－8y}$，${\displaystyle m＝\pm 2\sqrt[]{6}}$，准线方程为${\displaystyle y＝2}$．
    方法二：如图所示，设抛物线方程为${\displaystyle x^2＝－2py(p＞0)}$，则焦点${\displaystyle F(0,-\frac{p}{2})}$，准线${\displaystyle l:y＝\frac{p}{2}}$，又${\displaystyle \left|MF\right|＝5}$，由定义知${\displaystyle 3＋\frac{p}{2}＝5}$，∴${\displaystyle p＝4}$．
    ∴抛物线方程为${\displaystyle x^2＝－8y}$，准线方程为${\displaystyle y＝2}$．
    由${\displaystyle m^2＝(－8)\times (－3)}$，得${\displaystyle m＝\pm 2\sqrt[]{6}}$．

   评注:(1)抛物线的标准方程由四种形式，要根据题中条件首先判断出它的类型，再求${\displaystyle p}$的值；
    (2)当涉及抛物线上的点与焦点的距离问题时要联想到抛物线的定义．
　

    解:(1)如右图，点${\displaystyle A(3,2)}$在抛物线内部，作${\displaystyle PQ\perp }$准线${\displaystyle l}$，垂足为${\displaystyle Q}$，  ∵${\displaystyle \left|PF\right|＝\left|PQ\right|}$，                       
    ∴${\displaystyle \left|PA\right|+\left|PF\right|=\left|PA\right|+\left|PQ\right|}$∴过${\displaystyle A}$作准线${\displaystyle l}$的垂线交抛物线的点使${\displaystyle \left|PA\right|＋\left|PF\right|}$取最小值，
    这时${\displaystyle P}$点的横坐标为2，纵坐标为2．
    ∴P点坐标为(2,2)．
    （2）如右图，分别过${\displaystyle A、B、P}$作准线${\displaystyle l}$的垂线，设垂足为${\displaystyle A_1、B_1、P_1}$，${\displaystyle P{P}_1}$交${\displaystyle y}$轴与${\displaystyle Q}$点，连结${\displaystyle AF、BF}$，
    由抛物线定义可知${\displaystyle \left|AF\right|＝\left|A_{1}A\right|，\left|BF\right|＝\left|B_{1}B\right|}$
    ∴${\displaystyle \left|A_{1}A\right|＋\left|B_{1}B\right|＝\left|AF\right|＋\left|BF\right|}$．
    又四边形${\displaystyle A_{1}AB{B}_1}$为梯形，${\displaystyle P_{1}P}$是中位线，
    ∴${\displaystyle \left|P{P}_1\right|＝\frac{1}{2}(\left|A_{1}A\right|＋\left|B_{1}B\right|)＝\frac{1}{2}(\left|AF\right|＋\left|BF\right|)}$．∴${\displaystyle \left|P{P}_1\right|\ge \frac{1}{2}\left|AB\right|＝\frac{3}{2}}$．
    又${\displaystyle \left|PQ\right|＝\left|P{P}_1\right|－\frac{p}{2}＝\left|P{P}_1\right|－\frac{1}{2}}$，∴${\displaystyle \left|PQ\right|\ge \frac{3}{2}-\frac{1}{2}＝1}$，
    当且仅当${\displaystyle ABF}$三点共线时取“＝”．

   评注:本例的三个题目都是利用了抛物线的定义来解题，通过图形，借助三角形中“两边之和大于第三边”的结论，从而确定了最值．通过本例应该体会到在应用抛物线定义时“化斜为直”的思想．

    解:如右图所示建立直角坐标系，设抛物线方程为${\displaystyle y＝a{x}^2}$，则A(10,－2)在抛物线上，
    ∴${\displaystyle －2＝{10}^2\times a＝-\frac{1}{50}}$．方程即为${\displaystyle y=-\frac{1}{50}{x}^2}$，让货船沿正中央航行，
    ∵穿宽16m，而当${\displaystyle x＝8}$时，${\displaystyle y＝-\frac{1}{50}\times 8^2＝-1.28}$m，
    ∴船体在${\displaystyle x＝\pm 8}$之间通过时，B(8,－1.28)．
    ∴B点离水面高度为${\displaystyle －1.28－(－6)＝4.72}$m．
    ∴船体水面高度为5m，∴无法直接通过．
    又∵5－4.72＝0.28m，0.28÷0.04＝7，
    而150×7＝1050t＞1000t，
    ∴用多装货物的方法也无法通过，只好等待水位下降．

   评注:本题的关键是建立数学模型，用抛物线的知识解题．在判断船是否可以通过桥孔时，要计算出船的高度，比较多装货物后的船高，而在求船高时，要注意其变量．

　　答案：Ｄ
    2、抛物线的焦点坐标是(   )
    A.${\displaystyle (\frac{a}{2},0)}$       B.${\displaystyle (0,\frac{a}{2})}$       C.${\displaystyle (0,\frac{1}{4}a)}$       D.${\displaystyle (0,-\frac{1}{4}a)}$

　　答案：Ｃ
    3、抛物线${\displaystyle y=-x^2}$上的点到直线${\displaystyle 4x+3y-8=0}$距离的最小值(   )
    A.${\displaystyle \frac{4}{3}}$       B.${\displaystyle \frac{7}{5}}$        C.${\displaystyle \frac{8}{5}}$       D.${\displaystyle 3}$

　　答案：Ａ
    4、若点${\displaystyle A}$的坐标为(3,-2)，${\displaystyle F}$为抛物线${\displaystyle y^2=2x}$的焦点，点${\displaystyle P}$在抛物线上移动,${\displaystyle \left|PA\right|+\left|PF\right|}$取最小值时，点${\displaystyle P}$坐标为(   )
    A.(0,0)       B.(2,-2)       C. (2,2)       D.(2,0)

　　答案：Ｂ
    5、已知抛物线${\displaystyle y^2=4x}$，过点${\displaystyle P(4,0)}$的直线与抛物线相交与${\displaystyle A(x_1,y_1)、B(x_2,y_2)}$两点，则${\displaystyle y_1^2+y_2^2}$的最小值是_______________。

　　答案：32
    6、一动点到${\displaystyle y}$轴的距离比到点(2,0)的距离小2，则这点动点的轨迹方程是_________________。

　　答案：
    7、已知${\displaystyle A、B}$是抛物线${\displaystyle y^2=2px(p>0)}$上两点，O为原点，若${\displaystyle \left|AO\right|=\left|BO\right|}$，${\displaystyle \Delta AOB}$垂心恰好是抛物线焦点，则直线${\displaystyle AB}$的方程是______________。

　　答案：${\displaystyle x=\frac{5}{2}p}$
    8、已知直线在${\displaystyle x}$轴上的截距为-1，在${\displaystyle y}$轴上的截距为1， 又抛物线${\displaystyle y=x^2+bx+c}$的顶点坐标为(2,-8)，求直线和抛物线两个交点横坐标的平方和。

　　答案：35

　　答案：Ｄ
    2、过抛物线${\displaystyle y^2=4x}$的焦点F做倾斜角为${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$的弦${\displaystyle AB}$，则${\displaystyle \left|AB\right|}$=_______________。

　　答案：${\displaystyle \frac{16}{3}}$
    3、已知定点A(-2,-4)，过点${\displaystyle A}$作倾斜角为${\displaystyle {45}^{。}}$的直线${\displaystyle l}$交抛物线${\displaystyle y^2=2px(p>0)}$于${\displaystyle B、C}$两点，且${\displaystyle \left|AB\right|、\left|BC\right|、\left|AC\right|}$成等比数列，求抛物线方程。

　　答案：${\displaystyle y^2=2x}$
    4、已知定点A(1,0)和直线${\displaystyle x=-1}$上的两个动点${\displaystyle E,F}$，且${\displaystyle \overrightarrow{AE}\perp \overrightarrow{AF}}$，动点P满足${\displaystyle \overrightarrow{EP}}$//${\displaystyle \overrightarrow{OA}}$， ${\displaystyle \overrightarrow{FO}}$//${\displaystyle \overrightarrow{OP}}$（其中O为坐标原点）。
    (1)求动点${\displaystyle P}$的轨迹${\displaystyle C}$的方程。
    (2)过点B(0,2)的直线${\displaystyle l}$与(1)中的轨迹${\displaystyle C}$相交于两个不同的点${\displaystyle M,N}$，若${\displaystyle \overrightarrow{AM}}$${\displaystyle \overrightarrow{AN}}$<0，求直线${\displaystyle l}$的斜率的取值范围。

　　答案：${\displaystyle \left(1\right)y^2=4x(x\ne 0)}$ (2)${\displaystyle (-12,0)}$