§8.2 双曲线

第八章圆锥曲线方程
§8.2 双曲线

复习目标

知识梳理

应用举例

实践体验

拓展探究

基础训练

提高训练

学习感悟

一、复习目标
掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质。

二、重点难点

    三、特别提示
    1、双曲线的第一定义用代数形式表示为 $| | M F_{1} | － | M F_{2} | | ＝ 2 a$ ，其中 $2 a < | F_{1} F_{2} |$ ，当 $| M F_{1} | - | M F_{2} | = 2 a$ 时，曲线仅表示焦点 $F_{2}$ 所对应的一支；当 $| M F_{1} | - | M F_{2} | = - 2 a$ 时，曲线仅表示焦点 $F_{1}$ 所对应的一支；当 $2 a = | F_{1} F_{2} |$ 时，轨迹是以 $F_{1} 、 F_{2}$ 为端点向外的两条射线；当 $2 a > | F_{1} F_{2} |$ 时，轨迹不存在．
    2、参数 $a 、 b$ 是双曲线的定形条件，在两种标准方程中，总有 $a ＞ 0 ， b ＞ 0$ ；双曲线的焦点位置决定标准方程的类型； $a 、 b 、 c$ 的关系是 $c^{2} ＝ a^{2} ＋ b^{2}$ ；双曲线有“六线”（两条对称轴、两条准线、两条渐近线）和“四点”（两个焦点、两个顶点）；在方程 $A x^{2} ＋ B y^{2} ＝ C$ 中，只要 $A B ＜ 0$ 且 $C \neq 0$ ，就是双曲线方程．
    3、由给定条件求双曲线方程常用待定系数法．首先要根据焦点位置设出方程的形式（含有参数），再由题设条件确定参数值，应当特别注意：
    ①当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，防止遗漏；
    ②已知渐近线方程 $a x \pm b y ＝ 0$ 时，可设双曲线方程为 $a^{2} x^{2} - b^{2} y^{2} = λ (λ \neq 0)$ ，再利用其他条件确定 $l$ 的值。
    4、在解决直线与双曲线的问题时，要注意应用一元二次方程根与系数的关系和设而不求的技巧。

    知识梳理
    1、双曲线的定义
    第一定义：平面内到两个定点

F_{1} 、 F_{2}

的距离的差的绝对值等于定长(小于

| F_{1} F_{2} |

)的点的轨迹叫双曲线，其中

F_{1} 、 F_{2}

叫做双曲线的焦点．
第二定义：平面内的定点

F

和定直线

l

的距离之比等于常数

e (e ＞ 1)

的点的轨迹叫双曲线，定点

F

叫双曲线的焦点，定直线

l

叫双曲线的准线．
2、双曲线的标准方程与几何性质

图形
标准方程		$\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$	$\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$
几何性质	范围	$\| x \| \geq a$	$\| y \| \geq a$
	焦点	$F_{1} (－ c, 0) 、 F_{2} (c, 0)$	$F_{1} (0, － c) 、 F_{2} (0 . c)$
	顶点	$A_{1} (－ a, 0) 、 A_{2} (a, 0)$	$A_{1} (0, － a) 、 A_{2} (0, a)$
	对称性	关于 $x 、 y$ 轴对称，关于原点对称	关于 $x 、 y$ 轴对称，关于原点对称
	实虚轴长	实轴长为 $2 a$ ，虚轴长为 $2 b$	实轴长为 $2 a$ ，虚轴长为 $2 b$
	离心率	双曲线的焦距与实轴长的比 $e ＝ \frac{c}{a} (e ＞ 1)$	双曲线的焦距与实轴长的比 $e ＝ \frac{c}{a} (e ＞ 1)$
	准线方程	$x = \pm \frac{a^{2}}{c}$	$y = \pm \frac{a^{2}}{c}$
	渐近线方程	$y = \pm \frac{b}{a} x$	$y = \pm \frac{a}{b} x$
	焦半径	$\| M F_{1} \| ＝ \| e x_{0} + a \|, \| M F_{2} \| ＝ \| e x_{0} - a \|$	$\| M F_{1} \| ＝ \| e y_{0} + a \|, \| M F_{2} \| ＝ \| e y_{0} - a \|$
	共渐近线的双曲线系方程	$\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = k (k \neq 0)$	$\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = k (k \neq 0)$

    应用举例
    一、应用特点
    1、双曲线的定义及应用；
    2、双曲线的几何性质及应用；
    3、双曲线的实际应用.

二、案例示范
(回味相关知识与方法，寻找解题办法，若有困难，可以参考“提示”，还有困难，可以参考“解答”或倾听老师的分析示范)

    1、(1)已知双曲线渐进线方程为 $y = \pm \frac{1}{2} x$ ，焦距为10，求它的方程；
    (2)已知 $F_{1} 、 F_{2}$ 为双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} (a > 0, b > 0 且 a \neq b)$ 的两个焦点， P为双曲线右支上异于顶点的任意一点，O 为坐标原点。下面四个命题；
    A. $Δ P F_{1} F_{2}$ 的内切圆的圆心必在直线 $x = a$ 上；
    B. $Δ P F_{1} F_{2}$ 的内切圆的圆心必在直线 $x = b$ 上；
    C. $Δ P F_{1} F_{2}$ 的内切圆的圆心必在直线 $O P$ 上；
    D. $Δ P F_{1} F_{2}$ 的内切圆必通过点 $(a, 0)$ ；
    其中真命题的代号是______（写出所有真命题的代号）。

提示

示范

解:(1)若焦点在

x

上，设其方程为

\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

，则

{\begin{cases} \frac{b}{a} = \frac{1}{2} \\ 2 c = 10 \end{cases}

故双曲线为

\frac{x^{2}}{20} - \frac{y^{2}}{5} = 1

，

若焦点 $y$ 在轴上，设其方程为 $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$ ，则 ${\begin{cases} \frac{a}{b} = \frac{1}{2} \\ 2 c = 10 \end{cases}$ 故双曲线方程为 $\frac{y^{2}}{5} - \frac{x^{2}}{20} = 1$ 。
(2)设 $Δ P F_{1} F_{2}$ 的内切圆分别与 $P F_{1} 、 P F_{2}$ 切于点A 、B与 $F_{1} F_{2}$ 切于点 $M$ ，则 $| P A | = | P B |$ ， $| F_{1} A | = | F_{1} M |$ ， $| F_{2} B | = | F_{2} M |$ ,点 $P$ 在双曲线右支上，所以 $| P F_{1} - | P_{2} | = 2 a$ ，

故 $| F_{1} M | - | F_{2} M | = 2 a$ ，而 $| F_{1} M | = | F_{2} M | = 2 c$ 。设 $M$ 点坐标为 $(x, 0)$ ，则由 $| F_{1} M | - | F_{2} M | = 2 a$ 可得 $(x + c) - (c - x) = 2 a$ 解得 $x = a$ ，显然内切圆的圆心与点 $M$ 的连线垂直与 $x$ 轴，故 $A 、 D$ 正确。

评注:灵活运用双曲线的定义求解是常用方法之一，要灵活掌握。

2、设 $F_{1}$ 和 $F_{2}$ 为双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ 的两个焦点，点 $P$ 在双曲线上，且满足 $∠ F_{1} P F_{2} = 90^{。}$ ，求 $Δ F_{1} P F_{2}$ 的面积。

提示	示范
运用双曲线的焦半径解题。
解:设 $P$ 为双曲线右支上的点，坐标为 $(x_{0}, y_{0})$ ，则 $\| P F_{1} \| = e x_{0} + a$ ， $\| P F_{2} \| = e x_{0} - a$ ，其中 $F_{1} 、 F_{2}$ 为双曲线的左、右焦点，由双曲线方程知 $a = 2 ， b = 1 ， c = \sqrt[]{5}$ ， $∴ e = \frac{\sqrt[]{5}}{2}$ 。 $∴ \| P F_{1} \| = \frac{\sqrt[]{5}}{2} x_{0} + 2$ ， $\| P F_{2} \| = \frac{\sqrt[]{5}}{2} x_{0} - 2$ ， $\| F_{1} F_{2} \| = 2 \sqrt[]{5}$ 。根据勾股定理，在 $Δ F_{1} P F_{2}$ 中， ${(\frac{\sqrt[]{5}}{2} x_{0} + 2)}^{2} + {(\frac{\sqrt[]{5}}{2} x_{0} - 2)}^{2} = {(2 \sqrt[]{5})}^{2}$ ，解锝 $x_{0} = \pm \frac{2}{5} \sqrt[]{30}$ 。 $∴ Δ F_{1} P F_{2}$ 的面积为 $S_{Δ F_{1} P F_{2}} = \frac{1}{2} \| P F_{1} \| \| P F_{2} \| = \frac{1}{2} (\frac{\sqrt[]{5}}{2} x_{0} + 2) (\frac{\sqrt[]{5}}{2} x_{0} - 2) = \frac{1}{2} (\frac{5}{4} x_{0}^{2} - 4) = 1$ 。评注: 若 $P (x_{0}, y_{0})$ 是双曲线上任意一点，则右焦半径 $\| P F_{1} \| = {\begin{cases} e x_{0} - a & 当 P 在双曲线右支上 \\ a - e x_{0} & 当 P 在双曲线左支上 \end{cases}$ ；左焦半径 $\| P F_{2} \| = {\begin{cases} e x_{0} + a & 当 P 在双曲线右支上 \\ - a - e x_{0} & 当 P 在双曲线左支上 \end{cases}$ 。

3、一炮弹在某出爆炸，在

A

处听到爆炸声的时间比在

B

处晚2s ，
(1)爆炸点应在怎样的曲线上？
(2)已知

A 、 B

两地相距800m，并且次时声速为340m/s，求曲线方程。
　

提示	示范
由声速及 $A 、 B$ 两处听到爆炸声的时间差，可知 $A 、 B$ 两处与爆炸点的距离之差为定植，因此爆炸点应在靠近 $B$ 处的双曲线一支上。
解:(1)设声速为 $ν$ ， $A 、 B$ 两处听到爆炸声的时间差为 $t$ ，爆炸为 $P$ ，则有 $\frac{\| P A \|}{ν} - \frac{\| P B \|}{ν} = t$ ，即 $\| P A \| - \| P B \| = ν t$ . 点 $P$ 在以 $A 、 B$ 为焦点的双曲线靠近 $B$ 处的一支上。 (2)以 $A B$ 所在直线为 $x$ 轴， $A B$ 的垂直平分线为 $y$ 轴，建立坐标系。设 $P (x, y)$ ，则 $\| P A \| - \| P B \| = 2 \times 340 = 680$ 。 $∴ a = 340$ 。 $∵ \| A B \| = 800 ， ∴ 2 c = 800$ ，即 $c = 400$ 。 $∴ b^{2} = c^{2} - a^{2} = 44400$ 。 $∵ \| P A \| - \| P B \| > 0$ 。故曲线方程为 $\frac{x^{2}}{115600} - \frac{y^{2}}{44400} = 1 (x > 0)$ 。评注:本题解完后，读者可研究以下两个变式题目(1)如果 $A 、 B$ 两处同时听到爆炸声，那么爆炸点应在什么曲线上？(2)如果 $A 、 B$ 两点听到爆炸声的时间直和为定植，那么爆炸点应在什么曲线上？

    实践体验
    (在实践中提高能力，在体验中反思感悟，力求独立，力求提高)
    1、根据下列条件，求双曲线方程：
    (1)与双曲线

\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{4} = 1

有公共焦点，且过点

(3 \sqrt[]{2}, 2)

；
(2)与双曲线

\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1

有共同渐近线，且过点

(- 3, 2 \sqrt[]{3})

．
　

提示	示范
设双曲线标准方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (或 $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$ )
解:(1)方法一：设双曲线方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ，由题意易求 $c = 2 \sqrt[]{5}$ ．又双曲线过点 $(3 \sqrt[]{2}, 2)$ ， ∴ $\frac{{(3 \sqrt[]{2})}^{2}}{a^{2}} - \frac{4}{b^{2}} = 1$ ．又∵ $a^{2} + b^{2} = {(2 \sqrt[]{5})}^{2}$ ，∴ $a^{2} ＝ 12 ， b^{2} ＝ 8$ ．故所求双曲线方程为 $\frac{x^{2}}{12} - \frac{y^{2}}{8} = 1$ ．方法二：设双曲线方程为 $\frac{x^{2}}{16 - k} - \frac{y^{2}}{4 + k} = 1$ ，将点 $(3 \sqrt[]{2}, 2)$ 代入得 $k ＝ 4$ ． ∴双曲线方程为 $\frac{x^{2}}{12} - \frac{y^{2}}{8} = 1$ ． (2)方法一：设双曲线方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ，由题意得 ${\begin{cases} \frac{b}{a} = \frac{3}{4} \\ \frac{{(- 3)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(2 \sqrt[]{3})}^{2}}{b^{2}} = 1 \end{cases}$ 解之，得 $a^{2} = \frac{9}{4}, b^{2} = 4$ ．故双曲线方程为 $\frac{x^{2}}{\frac{9}{4}} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ ．方法二：设所求双曲线方程为 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = λ (λ \neq 0)$ ，将点 $(- 3, 2 \sqrt[]{3})$ 代入得 $λ = \frac{1}{4}$ ． ∴双曲线方程为 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = \frac{1}{4}$ ，即 $\frac{x^{2}}{\frac{9}{4}} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ ．评注:设双曲线标准方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (或 $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$ )后，要求标准方程只需得到关于 $a 、 b$ 的两个方程，解方程组便得 $a 、 b$ 的值，这是方程思想的重要体现．

2、双曲线

C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)

的两条准线间距离为3，右焦点到直线

x ＋ y － 1 ＝ 0

的距离为

\frac{\sqrt[]{2}}{2}

，
(1)求双曲线

C

的方程；
(2)双曲线

C

中是否存在以

P (1, \frac{1}{2})

为中点的弦？

提示

示范

联立直线与圆锥曲线方程，转化为关于

x

或

y

的一元二次方程，再利用韦达定理求中点坐标；或点差法

解:(1)根据题意有

{\begin{cases} 2 \frac{a^{2}}{3} = 3 \\ \frac{| c - 1 |}{\sqrt[]{2}} = \frac{\sqrt[]{2}}{2} \\ c^{2} = a^{2} + b^{2} \end{cases}

解之，得

a ＝ \sqrt[]{3}

，

b ＝ 1 ， c ＝ 2

．
所以双曲线C的方程为

\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1

．
(2)假设存在以

P (1, \frac{1}{2})

为中点的弦

A B

，且设

A (x_{1}, y_{1}) 、 B (x_{2}, y_{2})

，
则

x_{1} ＋ x_{2} ＝ 2 ， y_{1} ＋ y_{2} ＝ 1

．（*）
方法一：设

A B

所在直线方程为

y - \frac{1}{2} = k (x - 1)

，即

y = k x - k + \frac{1}{2}

． ①
将①代入双曲线C:

\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1

，整理，得

(1 － 3 k^{2}) x^{2} － 3 (1 － 2 k) k x － 3 {(k － \frac{1}{2})}^{2} － 3 ＝ 0

．②
所以

Δ ＝ 9 k^{2} {(1 － 2 k)}^{2} ＋ 12 (1 － 3 k^{2}) [{(k － \frac{1}{2})}^{2} ＋ 1]

，③

x_{1} + x_{2} = \frac{3 (1 - 2 k) k}{1 - 3 k^{2}}

④
由（*）及④得

\frac{3 (1 - 2 k) k}{1 - 3 k^{2}} = 2

，整理，得

k = \frac{2}{3}

．
将

k = \frac{2}{3}

代入③有

Δ ＝ 9 \times {(\frac{2}{3})}^{2} \times {(1 － 2 \times \frac{2}{3})}^{2} ＋ 12 (1 － 3 \times \frac{4}{9}) [{(\frac{2}{3} － \frac{1}{2})}^{2} + 1] ＝ - \frac{11}{3} ＜ 0

，

    即当 $k = \frac{2}{3}$ 时，方程②无解，从而不存在以 $P (1, \frac{1}{2})$ 为中点的弦．
    方法二：将 $A (x_{1}, y_{1}) 、 B (x_{2}, y_{2})$ 代入双曲线C: $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ ，
    有 ${(\frac{x_{1}^{2}}{3} - y_{1}^{2} = 1$ , ⑤),(x_2^2/3-y_2^2=1, ⑥):}
    ⑤－⑥,得 $\frac{x_{1}^{2} - x_{2}^{2}}{3} - (y_{1}^{2} - y_{2}^{2}) = 0$ ，
    即 $\frac{y_{1} - y_{2}}{x_{1} - x_{2}} = \frac{x_{1} + x_{2}}{3 (y_{1} + y_{2})}$ ．
    又由（*）知， $\frac{y_{1} - y_{2}}{x_{1} - x_{2}} = \frac{2}{3}$
    即过AB的弦所在直线的斜率 $k = \frac{2}{3}$ ，
    从而AB所在的直线的方程为 $y - \frac{1}{2} = \frac{2}{3} (x - 1)$ ，即 $y = \frac{2}{3} x - \frac{1}{6}$ ．
    代入双曲线C的方程，化简得 $x^{2} - 2 x + \frac{37}{4} = 0$ ，此时 $Δ = 4 - 4 \times \frac{37}{4} = - 33 < 0$ ，
    即 $k = \frac{2}{3}$ 时，所求直线与双曲线实际上没有交点．
    故不存在以 $P (1, \frac{1}{2})$ 为中点的弦．

评注:(1)圆锥曲线中与中点弦有关的问题通常可以有两种方法解决：①联立直线与圆锥曲线方程，转化为关于 $x$ 或 $y$ 的一元二次方程，再利用韦达定理求中点坐标；②点差法．将弦的两个端点坐标代入圆锥曲线方程，然后坐差，求出弦的中点与斜率的关系，再根据题目其他条件求出问题的解．
(2)用上述方法求出 $k$ 后，不要忽视判别式的作用，得到的结果是否合理必须利用判别式进行检验，否则可能出现错误结论，切记．

拓展探究
1、已知点

M (－ 2, 0) 、 N (2, 0)

，动点P满足条件

| P M | － | P N | ＝ 2 \sqrt[]{2}

．记动点

P

的轨迹为

W

．
(1)求

W

的方程；
(2)若

A 、 B

是

W

上的不同两点，

O

是坐标原点，求

\vec{O A} \vec{O B}

的最小值．
　

提示

示范

解:(1)由

| P M | － | P N |

＝

2 \sqrt[]{2}

，知动点P的轨迹是以

M 、 N

为焦点的双曲线的右支，实半轴长

a

＝

\sqrt[]{2}

．又半焦距

c ＝ 2

，故虚半轴长

b = \sqrt[]{c^{2} - a^{2}} = \sqrt[]{2}

．
所以

Ｗ

的方程为

\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{2} = 1 (x \geq \sqrt[]{2})

，
(2)设

A 、 B

的坐标分别为

(x_{1}, y_{1}) 、 (x_{2}, y_{2})

．
当

A B ⊥ x

轴时，

x_{1} ＝ x_{2} ， y_{1} ＝ － y_{2}

．
从而

\vec{O A} \vec{O B} = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} = x_{1}^{2} - y_{1}^{2} = 2

．
当

A B

与

x

轴不垂直时，设直线

A B

的方程为

y ＝ k x ＋ m

，与

W

的方程联立，消去

y

得

(1 － k^{2}) x^{2} － 2 k m x － m^{2} － 2 ＝ 0

．
故

x_{1} + x_{2} = \frac{2 k m}{1 - k^{2}}

，

x_{1} x_{2} = \frac{m^{2} + 2}{k^{2} - 1}

．
所以

\vec{O A} \vec{O B} ＝ x_{1} x_{2} ＋ y_{1} y_{2} ＝ x_{1} x_{2} ＋ (k x_{1} ＋ m) (k x_{2} ＋ m)

＝ $(1 ＋ k_{2}) x_{1} x_{2} ＋ k m (x_{1} ＋ x_{2}) ＋ m^{2} ＝ \frac{(1 + k^{2}) (m^{2} + 2)}{k^{2} - 1} ＋ \frac{2 k^{2} m^{2}}{1 - k^{2}} ＋ m^{2}$

    ＝ $\frac{2 k^{2} + 2}{k^{2} - 1} ＝ 2 ＋ \frac{4}{k^{2} - 1}$ ．
    又因为 $x_{1} x_{2} ＞ 0$ ，所以 $k^{2} － 1 ＞ 0$ ，从而 $\vec{O A}$ $•$ $\vec{O B}$ ＞2．
    综上，当 $A B ⊥ x$ 轴时， $\vec{O A}$ $•$ $\vec{O B}$ 取得最小值2．

评注:用定义法求轨迹方程时应注意定义中的先决条件．差不是差的绝对值，所以不要漏掉 $x \geq \sqrt[]{2}$ ．

基础训练

1、若椭圆

\frac{x^{2}}{m} + \frac{y^{2}}{n} (m > n > 0)

和双曲线

\frac{x^{2}}{a} - \frac{y^{2}}{b} = 1 (a > 0, b > 0)

有相同的焦点

F_{1} 、 F_{2}

，点

P

是两条曲线的一个交点，则

| P F_{1} | \cdot | P F_{2} |

的值为( )
A.

m - a

\frac{1}{2} (m - a)

m^{2} - a^{2}

\sqrt[]{m} - \sqrt[]{a}

2、曲线

\frac{x^{2}}{10 - m} + \frac{y^{2}}{6 - m} = 1 (m < 6)

与曲线

\frac{x^{2}}{5 - m} + \frac{y^{2}}{9 - m} = 1 (5 < m < 9)

的(   )
    A.焦距相等      B.离心率相等     C.焦点相同     D.准线相同
    3、已知双曲线

\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{2} = 1 (a > \sqrt[]{2})

的两条渐进线的夹角为

\frac{π}{3}

，则双曲线的离心率为( )
A.2 B.

\sqrt[]{3}

2 \frac{\sqrt[]{6}}{3}

2 \frac{\sqrt[]{3}}{3}

4、以椭圆

3 x^{2} + 13 y^{2} = 39

的焦点为焦点，以直线

y = \pm \frac{1}{2} x

为渐进线的双曲线方程是( )
A.

\frac{x^{2}}{8} - \frac{y^{2}}{2} = 1

\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{4} = 1

\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1

\frac{x^{2}}{12} - \frac{y^{2}}{4} = 1

5、设

F_{1} ， F_{2}

是双曲线

\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1

的两个焦点，点

P

在双曲线上，且

\vec{P F_{1}} \vec{P F_{2}} = 0

，则

| \vec{P F_{1}} | | \vec{P F_{2}} |

的值等于______。
6、双曲线

t x^{2} - y^{2} + 1 = 0

的一条渐进线与直线

2 x + y + 1 = 0

垂直，则双曲线的离心率为_____________.
7、已知双曲线方程

16 x^{2} - 9 y^{2} = 144, F_{1}, F_{2}

是双曲线的左、右焦点，点

P

在双曲线上，且

| P F_{1} | | P F_{2} | = 32

，求

∠ F_{1} P F_{2}

的大小。
8、求准线方程为

y = - 2

，通径长为24的双曲线的标准方程。

参考答案

1、若椭圆

\frac{x^{2}}{m} + \frac{y^{2}}{n} (m > n > 0)

和双曲线

\frac{x^{2}}{a} - \frac{y^{2}}{b} = 1 (a > 0, b > 0)

有相同的焦点

F_{1} 、 F_{2}

，点

P

是两条曲线的一个交点，则

| P F_{1} | \cdot | P F_{2} |

的值为( )
A.

m - a

\frac{1}{2} (m - a)

m^{2} - a^{2}

\sqrt[]{m} - \sqrt[]{a}

　　答案：Ａ
2、曲线 $\frac{x^{2}}{10 - m} + \frac{y^{2}}{6 - m} = 1 (m < 6)$ 与曲线 $\frac{x^{2}}{5 - m} + \frac{y^{2}}{9 - m} = 1 (5 < m < 9)$ 的( )
A.焦距相等 B.离心率相等 C.焦点相同 D.准线相同

　　答案：Ａ
3、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{2} = 1 (a > \sqrt[]{2})$ 的两条渐进线的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，则双曲线的离心率为( )
A.2 B. $\sqrt[]{3}$ C. $2 \frac{\sqrt[]{6}}{3}$ D. $2 \frac{\sqrt[]{3}}{3}$

　　答案：Ｄ
4、以椭圆 $3 x^{2} + 13 y^{2} = 39$ 的焦点为焦点，以直线 $y = \pm \frac{1}{2} x$ 为渐进线的双曲线方程是( )
A. $\frac{x^{2}}{8} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ B. $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ C. $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ D. $\frac{x^{2}}{12} - \frac{y^{2}}{4} = 1$

　　答案：Ａ
5、设 $F_{1} ， F_{2}$ 是双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ 的两个焦点，点 $P$ 在双曲线上，且 $\vec{P F_{1}} \vec{P F_{2}} = 0$ ，则 $| \vec{P F_{1}} | | \vec{P F_{2}} |$ 的值等于______。

　　答案：２
6、双曲线 $t x^{2} - y^{2} + 1 = 0$ 的一条渐进线与直线 $2 x + y + 1 = 0$ 垂直，则双曲线的离心率为_____________.

　　答案： $\sqrt[]{5}$
7、已知双曲线方程 $16 x^{2} - 9 y^{2} = 144, F_{1}, F_{2}$ 是双曲线的左、右焦点，点 $P$ 在双曲线上，且 $| P F_{1} | | P F_{2} | = 32$ ，求 $∠ F_{1} P F_{2}$ 的大小。

　　答案： $90^{O}$
8、求准线方程为 $y = - 2$ ，通径长为24的双曲线的标准方程。

　　答案： $\frac{y^{2}}{16} + \frac{x^{2}}{48} = 1$

提高训练

1、双曲线

x^{2} - y^{2} = 1

的一弦中点为(2,1)，则此弦所在的直线方程是( )
A.

y = 2 x - 1

y = 2 x - 2

C.y

= 2 x - 3

y = 2 x + 3

2、双曲线的离心率

e = 2

，则它的一个顶点把焦点之间的线段分成长，短两段的比是_____________。
3、已知

M (- 2, 0) 、 N (2, 0)

，动点

P

满足条件

| P M | - | P N | = 2 \sqrt[]{2}

。记动点

P

的轨迹为

W

。
(1)求

W

的方程。
(2)若

A 、 B

是

W

上的不同两点，

O

是坐标原点，求

\vec{O A} \vec{O B}

的最小值。
4、设双曲线

C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - y^{2} = 1 (a > 0)

与直线

l : x + y = 1

相交于两个不同的点

A 、 B

。
(1)求双曲线

C

的离心率

e

的取值范围；
(2)设直线

l

与

y

轴的交点为

P

，且

\vec{P A} = \frac{5}{12} \vec{P B}

，求

a

的值。
　

参考答案

1、双曲线

x^{2} - y^{2} = 1

的一弦中点为(2,1)，则此弦所在的直线方程是( )
A.

y = 2 x - 1

y = 2 x - 2

C.y

= 2 x - 3

y = 2 x + 3

　　答案：C
2、双曲线的离心率 $e = 2$ ，则它的一个顶点把焦点之间的线段分成长，短两段的比是_____________。

　　答案：3:1
    3、已知 $M (- 2, 0) 、 N (2, 0)$ ，动点 $P$ 满足条件 $| P M | - | P N | = 2 \sqrt[]{2}$ 。记动点 $P$ 的轨迹为 $W$ 。
    (1)求 $W$ 的方程。
    (2)若 $A 、 B$ 是 $W$ 上的不同两点， $O$ 是坐标原点，求 $\vec{O A} \vec{O B}$ 的最小值。

　　答案： $(1) \frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{2} = 1 (x \geq \sqrt[]{2})$ (2)2
    4、设双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - y^{2} = 1 (a > 0)$ 与直线 $l : x + y = 1$ 相交于两个不同的点 $A 、 B$ 。
    (1)求双曲线 $C$ 的离心率 $e$ 的取值范围；
    (2)设直线 $l$ 与 $y$ 轴的交点为 $P$ ，且 $\vec{P A} = \frac{5}{12} \vec{P B}$ ，求 $a$ 的值。

　　答案：(1) $(\frac{\sqrt[]{6}}{2}, \sqrt[]{2}) \cup (\sqrt[]{2}, + \infty)$ (2) $\frac{17}{13}$
　

    学习感悟
    1、(1)双曲线的两个定义的“双向运用”。在第一定义中， $| | P F_{1} | - | P F_{2} | | = 2 a$ ，其中 $2 a < | F_{1} F_{2} | (a > 0)$ ，当 $| | P F_{1} | - | P F_{2} | | = 2 a$ 或 $| | P F_{2} | - | P F_{1} | | = 2 a$ 时，点P的轨迹是双曲线的一支；当 $| F_{1} F_{2} | = 2 a$ 时， $| | P F_{1} | - | P F_{2} | | = 2 a$ 表示两条射线，当 $| F_{1} F_{2} | < 2 a$ 时，轨迹不存在，在第二定义中，定点F不在定直线l上。
    (2)双曲线的同意形式为 $A x^{2} + B y^{2}$ （其中 $A ， B$ 异号且都不为零），此形式以便用于如下情形：仅一支双曲线过两点，求双曲线的坐标方程。
    2、(1)渐近线方程可以认为是把方程中的“1”用“0”替换而得出的两条直线方程，如双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的渐近线方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 0$ ，即 $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 0$ 或 $\frac{x}{a} - \frac{y}{b} = 0$ 。
    (2)与双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 有相同渐近线的双曲线系方程可设为 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = λ$ ，当 $λ \neq 0$ 时，说明双曲线焦点在x轴上，若 $λ < 0$ ，则双曲线的焦点在y轴上。
    (3)对于等轴双曲线（实轴和虚轴等长的双曲线），其渐近线方程为 $y = \pm x$ ，离心率 $e = \sqrt[]{2}$ 。 $e = \sqrt[]{2}$ 是双曲线为等轴双曲线的充要条件，等轴双曲线方程可设为 $x^{2} - y^{2} = λ (λ \neq 0)$ 。
    (4)双曲线离心率 $e$ 越大，双曲线开口越大，这一性质可用来处理两双曲线的位置关系问题。

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