评注:椭圆的定义要记牢，直角顶点要分清。(2)中直 接求P的坐标比较简单。
    当`DeltaPF_1F_2`不是直角三角形时常用余弦定理，并结合`|PF_1|+|PF_2|=2a`，求出`a、b`的值。

   评注: 标准方程是将椭圆解析化的表现形式，高考中常以此设计考点，将定义和性质进行综合考查，在不明确焦点所在的直线时，要注意分类讨论。

   评注:涉及圆锥曲线中的最值问题时，常用函数观点或利用圆锥曲线的性质来解。

    `|AF_1|＋|BF_1|＝2a－|AF_2|＋2a－|BF_2|＝4a－(|AF_2|＋|BF_2|)＝4a－8/5a＝12/5a`．
    再设`A、B、N`三点到左准线距离分别为`d_1、d_2、d_3`．
    由梯形中位线定理，有`d_1＋d_2＋d_3＝3`．                 
    而已知`b^2=9/25a^2`，∴`c^2=a^2-b^2=16/25a^2`．
    ∴得离心率`e=4/5`．∵`|AF_1|＝ed_1，|BF_1|＝ed_2`，∴`|AF_1|＋|BF_1|=12/5a=e(d_1+d_2)=12/5`．
    ∴`a＝1`，则椭圆方程为`x^2+y^2/(9/25)=1`

   评注:本题运用了椭圆的两种定义来解题．椭圆两定义都是用椭圆上任意一点P到焦点的距离来描述的．第一定义中`|PF_1|+|PF_2|＝2a＞|F_1F_2|`，若`2a＝|F_1F_2|`，则轨迹是线段`F_1F_2`，若`2a＜|F_1F_2|`，轨迹存在但不是椭圆．第二定义是将到焦点的距离与到准线的距离建立了等量关系．这两种定义能够对一些距离进行相关的转化，简化解题过程．因此，在解题中遇到涉及曲线上的点到焦点的距离时，应先考虑是否能够使用椭圆的定义求解．

    解:方法一：如图所示，
    设`F_1(-c,0)`、`F_2(c,0)`、`P(x_0,y_0)`，
    则`|PF_1|＝a＋ex_0，|PF_2|＝a－ex_0，| F_1F_2|＝2c`．∵`vec(PF_1)`•`vec(PF_2)`=`0`，
    ∴`vec(PF_1)_|_vec(PF_2)`．∴`|PF_1|^2＋|PF_2|^2=|F_1F_2|^2`，
    即`(a+ex_0^2)^2+(a-ex_0^2)^2=4c^2`,即`e^2(x_0)^2=2c^2-a^2`
    据题意，知P点在椭圆上，但不在x轴上．
    ∴`0<=x_0^2<a^2<c^2`．∴`0<=e^2x_0^2<c^2`．于是`0<=2c^2-a^2<c^2`，
    即`a^2/2<=c^2<=a^2`．∴`root()(2)/2<=c/a<1`∴`ein[root()(2)/2,1)`．

    方法二：设`P(acostheta,bsintheta)(0＜theta<=pi/2)`．
    ∵`vec(PF_1)`•`vec(PF_2)`=`0`，∴`vec(PF_1)_|_vec(PF_2)`．
    又O为`F_1F_2`的中点，∴`|PO|=1/2|F_1F_2|＝c`．∴`a^2cos^2theta+b^2sin^2theta=c^2`
    ∴`a^2cos^2theta+(a^2-c^2)sin^2theta=c^2`,即`a^2=c^2(1+sin^2theta)`．∴`e=c/a=2/root()(1+sin^2theta)`．
    ∵`0<theta<=pi/2`，∴`0<sin^2theta<=1`．∴`ein[root()(2)/2,1)`．

    方法三：∵`vec(PF_1)`•`vec(PF_2)`=`0`，∴`vec(PF_1)_|_vec(PF_2)`．
    ∴`P`点在以`F_1F_2`为直径的圆上．又`P`点在椭圆上，
    ∴圆`x^2+y^2=c^2`与椭圆`x^2/a^2+y^2/b^2=1`有公共点．
    由右图知，`b<=c＜a`∴`c^2＜a^2`，即`a^2－c^2<=c^2＜a^2`．
    ∴`a^2/2<=c^2<=a^2`．∴`root()(2)/2<=c/a<1`∴`ein[root()(2)/2,1)`

   评注:以上三种解法分别是不等式法、函数法和几何法，各有其解法特点，对于条件“`vec(PF_1)`•`vec(PF_2)`=`0`，即`vec(PF_1)_|_vec(PF_2)` ”可作多种转化，这是解题的灵活之处，本题也可以改为“当`∠F_1PF_2`为某一钝角时，求离心率`e`的取值范围”．在解析几何中求变量的取值范围主要有三种基本方法：①不等式法，即将题设条件转化为关于变量的不等式，再解不等式或由不等式的性质推导出结果；②函数法，即将变量范围转化为某个函数的值域；③几何法，即利用几何性质，通过数形结合求解．求变量的最值的方法也大致如此．

   评注:中点弦问题一般有两种思路：一是联立消元，要考虑Δ，二是设而不求，等价于Δ的是弦中点在椭圆内．一般设而不求计算量要小些．

　　答案：Ｄ
    ２、设`A(x_1,y_1)，B(4,9/5)，C(x_2,y_2)`是右焦点为F的椭圆`x^2/25+y^2/9=1`上三个不同的点，则“|AF|，|BF|，|CF|成等差数列”是“`x_1+x_2=8`”的(   )
    Ａ.充要条件    Ｂ.必要不充分条件    Ｃ.充分不必要条件    Ｄ.即非充分也非必要条件

　　答案：Ａ
    ３、在给定椭圆中，过焦点且垂直与长轴的弦长为`root()(2)`，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为(   )
    Ａ.`root()(2)`     Ｂ.`root()(2)/2`      Ｃ.1/2     Ｄ.`root()(2)/4`

　　答案：Ｂ
    ４、椭圆`x^2/a^2+y^2/b^2=1`上任意一点到焦点的距离分别为`d_1、d_2`，焦距为2c，若`d_1`、2c、`d_2`成等差数列，则椭圆的离心率(   )
    Ａ.1/2     Ｂ.`root()(2)/2`     Ｃ.`root()(3)/2`     Ｄ.3/4

　　答案：Ａ
    ５、点`P(3,1)`在椭圆`x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)`的右准线上，过P点且方向向量为`vec(a)=(-2,-5)`的光线经直线`y=-2`反射通过椭圆的右焦点，则这个椭圆的离心率为______。

　　答案：`root()(3)/3`
    ６、为椭圆`x^2/45+y^2=1`上一定点，它与两个焦点的连线互相垂直，则点`P`的坐标为__________。

　　答案：`(3,+-4)`或`(-3,+-4)`
    ７、椭圆中心在原点，焦点在y轴上，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且这个焦点到长轴较近的顶点距离为`root()(10)-root()(3)`，求椭圆的方程。

　　答案：`y^2/10+x^2/5=1`
    ８、设`0<=A<2pi`，若方程`x^2sintheta-y^2costheta=1`表示焦点在`y`轴上的椭圆，求`a`的取值范围。

　　答案：`pi/2<alpha<(3pi)/4`

　　答案：Ａ
    2、椭圆的离心离为`1/3`，一条准线是`x=3`，它的标准方程是__________.

　　答案：`x^2+(9y^2)/8=1`
    3、已知椭圆方程为`x^2/2+y^2/8=1`，射线`y=2x`(`x<=0`)与椭圆的交点为`M`，过`M`作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于`A、B`两点(异于`M`)。
    (1)求证：直线`AB`的斜率`k_(AB)=2`；
    (2)求`DeltaAMB`面积的最大值。

　　答案：(1)略 (2)2
    4、椭圆`x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)`的离心率为`root()(2)/2`,过椭圆的右焦点`F(c,0)`的直线l与椭圆交于`A、B`两点，且与圆`(x-3c)^2+y^2=2c^2`相切，若`AB`的中点为`P`，`DeltaPOF`的面积为２，求椭圆的方程。

　　答案：`x^2/24+y^2/12=1`