§8.1 椭圆

第八章圆锥曲线方程
§8.1 椭圆

复习目标

知识梳理

应用举例

实践体验

拓展探究

基础训练

提高训练

学习感悟

一、复习目标
掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程。

二、重点难点

    三、特别提示
    1、椭圆的两种定义形式各有侧重，第一定义对从圆到椭圆的过渡起到一定作用，容易形成距离之和为定值的“焦点三角形”；第二定义的作用是将两种不同性质的距离进行转化，因此在解题中涉及到点到焦点的距离时，可先联想到用定义来解决，往往会有事半功倍之效．
    2、椭圆标准方程中两个参数a、b确定了椭圆的形状和大小．两种标准方程中：总有a＞b＞0；椭圆的焦点位置决定标准方程的类型；a、b、c的关系是 $c^{2} = a^{2} - b^{2}$ ．若已知焦点在x轴或y轴上时，椭圆的标准方程是确定的；若椭圆的焦点位置不明确时，可设其方程为 $\frac{x^{2}}{m} + \frac{y^{2}}{n} = 1$ (m＞0,n＞0且m≠n)或 $A x^{2} + B y^{2} = 1$ (A＞0,B＞0且A≠B)，可以避免讨论和繁杂的计算．
    3、求椭圆的常用方法有：定义法、直接法、待定系数法；而研究直线与椭圆的位置关系时，则常用一元二次方程的判别式、韦达定理等来解决问题．

    知识梳理
    1、椭圆的定义
    第一定义：平面内与两个定点

F_{1} 、 F_{2}

的距离的和等于常数(大于

| F_{1} F_{2} |

)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距．
第二定义：平面内到定点

F (c, 0)

的距离与到直线

l : x = \frac{a^{2}}{c}

的距离之比是常数

\frac{c}{a} (0 < c < a)

的动点的轨迹叫做椭圆．
注意：(1)定义1中，“定值大于

| F_{1} F_{2} |

”（即

2 a ＞ 2 c

）是必要条件，当

2 a ＝ 2 c

时，动点轨迹是两焦点的连线段；而当

2 a ＜ 2 c

时，动点轨迹不存在．
(2)定义2中，定点

F

是椭圆的焦点，定直线

l

是椭圆的相应于焦点

F

的准线．
2、椭圆的标准方程与几何性质

	焦点在 $x$ 轴上	焦点在 $y$ 轴上
标准方程	$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$	$\frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$
图形
焦点坐标	$F_{1} (－ c, 0) ， F_{2} (c, 0)$	$F_{1} (0, － c) ， F_{2} (0, c)$
对称型	关于 $x 、 y$ 轴成轴对称，关于原点成中心对称	关于 $x 、 y$ 轴成轴对称，关于原点成中心对称
顶点坐标	$A_{1} (－ a, 0) ， A_{2} (a, 0) ， B_{1} (0, － b) ， B_{2} (0, b)$	$A_{1} (0, － a) ， A_{2} (0, a) ， B_{1} (－ b, 0) ， B_{2} (b, 0)$
范围	$\| x \| \leq a, \| y \| \leq b$	$\| x \| \leq b, \| y \| \leq a$
长轴短轴	长轴 $A_{1} A_{2}$ 长为 $2 a$ ，短轴 $B_{1} B_{2}$ 长为 $2 b$	长轴 $A_{1} A_{2}$ 长为 $2 a$ ，短轴 $B_{1} B_{2}$ 长为 $2 b$
离心率	椭圆的焦距与长轴长的比 $e ＝ \frac{c}{a} (0 ＜ e ＜ 1)$	$e = \frac{c}{a} (0 < e < 1)$
准线方程	$x ＝ \pm \frac{a^{2}}{c}$	$y ＝ \pm \frac{a^{2}}{c}$
焦半径	$\| M F_{1} \| ＝ a + e x_{0}, \| M F_{2} \| ＝ a - e x_{0}$	$\| M F_{1} \| ＝ a + e y_{0}, \| M F_{2} \| ＝ a - e y_{0}$

    3、椭圆的参数方程
    椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的参数方程是 ${\begin{cases} x = a cos θ \\ y = b sin θ \end{cases}$
    注意： $θ$ 并非 $\vec{O x}$ 与 $\vec{O M}$ ＝ $(a cos θ, b sin θ)$ 的夹角．

    应用举例
    一、应用特点
    1、椭圆的定义及应用；
    2、椭圆的几何性质及应用；
    3、椭圆基本量的讨论.

二、案例示范
(回味相关知识与方法，寻找解题办法，若有困难，可以参考“提示”，还有困难，可以参考“解答”或倾听老师的分析示范)

1、设 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的两个焦点，P为椭圆上一点，已知P、 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 是一个直角三角形的顶点，且| $P F_{1}$ |>| $P F_{2}$ |，求 $\frac{| P F_{1} |}{| P F_{2} |}$ 的值。

提示	示范
由定义知\| $P F_{1}$ \|+\| $P F_{2}$ \|=6，再由直角三角形的边的关系，可分别求出\| $P F_{1}$ \|与\| $P F_{2}$ \|的值，从而求出 $\frac{\| P F_{1} \|}{\| P F_{2} \|}$ ，但是要注意\| $P F_{1}$ \|>\| $P F_{2}$ \|说明P在右半椭圆上，且直角顶点未定需讨论。
解:由方程知a=3,b=2及 $c^{2} = a^{2} - b^{2}$ 知c= $\sqrt[]{5}$ ，故 $F_{2} (\sqrt[]{5} ， 0)$ ，且，\| $P F_{1}$ \|>\| $P F_{2}$ \|，则 $F_{1}$ 不是直角顶点。 (1)若P为直角顶点，则 $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ ，于是 ${\| P F_{1} \|}^{2} + {\| P F_{2} \|}^{2} = {\| F_{1} F_{2} \|}^{2} = 20$ ① 又根据椭圆的定义知\| $P F_{1}$ \|+\| $P F_{2}$ \|=6 ② 由①②知\| $P F_{1}$ \|=4，\| $P F_{2}$ \|， $： . \frac{\| P F_{1} \|}{\| P F_{2} \|} = 2$ 。 (2)若 $F_{2}$ 为直角顶点，则 $P F_{2} ⊥ x$ 轴，可解得 $P (\sqrt[]{5}, \pm \frac{4}{3}), ∴ \| P F_{2} \| = \frac{4}{3}$ ,则\| $P F_{1}$ \|=6-\| $P F_{2}$ \|== $\frac{14}{3}$ 。 $∴ \frac{\| P F_{1} \|}{\| P F_{2} \|}$ 的值为2或 $\frac{7}{2}$ 。评注:椭圆的定义要记牢，直角顶点要分清。(2)中直接求P的坐标比较简单。当 $Δ P F_{1} F_{2}$ 不是直角三角形时常用余弦定理，并结合 $\| P F_{1} \| + \| P F_{2} \| = 2 a$ ，求出 $a 、 b$ 的值。

2、如下图，在直角坐标系

x O y

中，设椭圆

C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)

的左右两个焦点分别为

F_{1} 、 F_{2}

，过右焦点

F_{2}

且与

x

轴垂直的直线

l

与椭圆

C

相交，其中一个交点为

M (\sqrt[]{2}, 1)

。求椭圆

C

的方程。

提示	示范
求椭圆标准方程一般用待定系数法，分别求 $a 、 b$ 值，由本题题意可知：解法有两种：一是用椭圆的定义和直角三角形勾股定理求解；二是用焦点坐标和 $M$ 点坐标联立组求解。
解:解法一 $∵ l ⊥ x$ 轴， $∴ F_{2}$ 的坐标为 $(\sqrt[]{2}, 0)$ 。由题意可知： ${\begin{cases} \frac{2}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} = 1 \\ a^{2} - b^{2} = 2 \end{cases}$ 得 ${\begin{cases} a^{2} = 4 \\ b^{2} = 2 \end{cases}$ $∴$ 所求椭圆方程为: $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 解法二：由椭圆定义可知： $\| M F_{1} \| + \| M F_{2} \| = 2 a$ 。由题意 $\| M F_{2} \| = 1$ ， $： . \| M F_{1} \| = 2 a - 1$ 。又由 $R t Δ M F_{1} F_{2}$ 可知： ${(2 a - 1)}^{2} = {(2 \sqrt[]{2})}^{2} + 1$ ， $a > 0$ ， $∴ a = 2$ ，又 $a^{2} - b^{2} = 2$ ，得 $b^{2} = 2$ $∴$ 椭圆C的方程为 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 评注: 标准方程是将椭圆解析化的表现形式，高考中常以此设计考点，将定义和性质进行综合考查，在不明确焦点所在的直线时，要注意分类讨论。

3、已知椭圆

C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)

的长轴端点为

A 、 B

，若椭圆

C

上存在点

Q

，使

∠ A Q B = 120^{。}

，求椭圆

C

的离心率

e

的取值范围。

提示	示范
由题意 $Q (x, y)$ ，使 $∠ A Q B = 120^{。}$ 成立，且 $- a \leq x \leq a$ ， $- b \leq y \leq b$ ,若 $x 、 y$ 用 $a 、 b 、 c$ 表示，则出现了 $a 、 b 、 c$ 的不等关系，从而求 $e$ 的范围。
解:A(-a,0) ，B(a,0) $, 设$ Q(x,y) $。由椭圆的对称性，不妨设$ Q $点在$ x $轴的上方，即$ y>0 $，$ $∴ k_{A Q} = \frac{y}{x + a}, k_{B Q} = \frac{y}{x - a}$ 。由 $tan ∠ A Q B = {tan 120}^{。} = - \sqrt[]{3}$ ，得 $\frac{\frac{y}{x - a} - \frac{y}{x + a}}{1 + \frac{y}{x - a} \frac{y}{x + a}} = - \sqrt[]{3}$ ，即 $\sqrt[]{3} (x^{2} + y^{2} - a^{2}) = - 2 a y$ 。① 又Q在椭圆C上，故 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 。 ② 由①②消去 x，得 $\sqrt[]{3} (b^{2} - a^{2}) y^{2} + 2 a b^{2} y = 0$ ，而 $y \neq 0$ ， $∴ y = \frac{2 a b^{2}}{\sqrt[]{3} (a^{2} - b^{2})} = \frac{2 a b^{2}}{\sqrt[]{3} c^{2}}$ 。又 $y \leq b$ ， $∴ \frac{2 a b^{2}}{\sqrt[]{3} c^{2}} \leq b$ ，即 $\frac{2 a b}{\sqrt[]{3} c^{2}} \leq 1$ 。 $∴ 4 a^{2} b^{2} \leq 3 c^{4}$ ，即 $4 a^{2} (a^{2} - c^{2}) \leq 3 c^{4}$ 。 $∴ 3 e^{4} + 4 e^{2} - 4 \geq 0$ ，解得 $e^{2} \geq \frac{2}{3}$ 。 $∴ \frac{\sqrt[]{6}}{3} \leq e < 1$ 。评注:涉及圆锥曲线中的最值问题时，常用函数观点或利用圆锥曲线的性质来解。

    实践体验
    (在实践中提高能力，在体验中反思感悟，力求独立，力求提高)
    1、已知

A 、 B

是椭圆

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{\frac{9}{25} a^{2}}

上的点，

F_{2}

是右焦点且

| A F_{2} | + | B F_{2} | = \frac{8}{5} a

，

A B

的中点

N

到左准线的距离等于

\frac{3}{2}

，求此椭圆方程．

提示

示范

本题出现了

| A F_{2} | + | B F_{2} | = \frac{8}{5} a

及其准线,所以考虑用椭圆的两种定义来解题

解:如图，设

F_{1}

为左焦点，连结

A F_{1} 、 B F_{1}

，则根据椭圆定义有

    $| A F_{1} | ＋ | B F_{1} | ＝ 2 a － | A F_{2} | ＋ 2 a － | B F_{2} | ＝ 4 a － (| A F_{2} | ＋ | B$ F_2|)＝4a－8/5a＝12/5a $．$
    再设 $A 、 B 、 N$ 三点到左准线距离分别为 $d_{1} 、 d_{2} 、 d_{3}$ ．
    由梯形中位线定理，有 $d_{1} ＋ d_{2} ＋ d_{3} ＝ 3$ ．
    而已知 $b^{2} = \frac{9}{25} a^{2}$ ，∴ $c^{2} = a^{2} - b^{2} = \frac{16}{25} a^{2}$ ．
    ∴得离心率 $e = \frac{4}{5}$ ．∵ $| A F_{1} | ＝ e d_{1} ， | B F_{1} | ＝ e d_{2}$ ，∴ $| A F_{1} | ＋ | B F_{1} | = \frac{12}{5} a = e (d_{1} + d_{2}) = \frac{12}{5}$ ．
    ∴ $a ＝ 1$ ，则椭圆方程为 $x^{2} + \frac{y^{2}}{\frac{9}{25}} = 1$

评注:本题运用了椭圆的两种定义来解题．椭圆两定义都是用椭圆上任意一点P到焦点的距离来描述的．第一定义中 $| P F_{1} | + | P F_{2} | ＝ 2 a ＞ | F_{1} F_{2} |$ ，若 $2 a ＝ | F_{1} F_{2} |$ ，则轨迹是线段 $F_{1} F_{2}$ ，若 $2 a ＜ | F_{1} F_{2} |$ ，轨迹存在但不是椭圆．第二定义是将到焦点的距离与到准线的距离建立了等量关系．这两种定义能够对一些距离进行相关的转化，简化解题过程．因此，在解题中遇到涉及曲线上的点到焦点的距离时，应先考虑是否能够使用椭圆的定义求解．

2、设椭圆

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)

的两焦点为

F_{1} 、 F_{2}

，若在椭圆上存在一点P，使

\vec{P F_{1}}

•

\vec{P F_{2}}

0

，求椭圆的离心率

e

的取值范围．

提示

示范

解:方法一：如图所示，
设

F_{1} (- c, 0)

、

F_{2} (c, 0)

、

P (x_{0}, y_{0})

，

则

| P F_{1} | ＝ a ＋ e x_{0} ， | P F_{2} | ＝ a － e x_{0} ， | F_{1} F_{2} | ＝ 2 c

．∵

\vec{P F_{1}}

•

\vec{P F_{2}}

0

，
∴

\vec{P F_{1}} ⊥ \vec{P F_{2}}

．∴

{| P F_{1} |}^{2} ＋ {| P F_{2} |}^{2} = {| F_{1} F_{2} |}^{2}

，
即

{(a + e x_{0}^{2})}^{2} + {(a - e x_{0}^{2})}^{2} = 4 c^{2}

,即

e^{2} {(x_{0})}^{2} = 2 c^{2} - a^{2}

据题意，知P点在椭圆上，但不在x轴上．
∴

0 \leq x_{0}^{2} < a^{2} < c^{2}

．∴

0 \leq e^{2} x_{0}^{2} < c^{2}

．于是

0 \leq 2 c^{2} - a^{2} < c^{2}

，
即

\frac{a^{2}}{2} \leq c^{2} \leq a^{2}

．∴

\frac{\sqrt[]{2}}{2} \leq \frac{c}{a} < 1

∴

e \in [\frac{\sqrt[]{2}}{2}, 1)

．

    方法二：设 $P (a cos θ, b sin θ) (0 ＜ θ \leq \frac{π}{2})$ ．
    ∵ $\vec{P F_{1}}$ • $\vec{P F_{2}}$ = $0$ ，∴ $\vec{P F_{1}} ⊥ \vec{P F_{2}}$ ．
    又O为 $F_{1} F_{2}$ 的中点，∴ $| P O | = \frac{1}{2} | F_{1} F_{2} | ＝ c$ ．∴ $a^{2} {cos}^{2} θ + b^{2} {sin}^{2} θ = c^{2}$
    ∴ $a^{2} {cos}^{2} θ + (a^{2} - c^{2}) {sin}^{2} θ = c^{2}$ ,即 $a^{2} = c^{2} (1 + {sin}^{2} θ)$ ．∴ $e = \frac{c}{a} = \frac{2}{\sqrt[]{1 + {sin}^{2} θ}}$ ．
    ∵ $0 < θ \leq \frac{π}{2}$ ，∴ $0 < {sin}^{2} θ \leq 1$ ．∴ $e \in [\frac{\sqrt[]{2}}{2}, 1)$ ．

    方法三：∵ $\vec{P F_{1}}$ • $\vec{P F_{2}}$ = $0$ ，∴ $\vec{P F_{1}} ⊥ \vec{P F_{2}}$ ．
    ∴ $P$ 点在以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆上．又 $P$ 点在椭圆上，
    ∴圆 $x^{2} + y^{2} = c^{2}$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 有公共点．
    由右图知， $b \leq c ＜ a$ ∴ $c^{2} ＜ a^{2}$ ，即 $a^{2} － c^{2} \leq c^{2} ＜ a^{2}$ ．
    ∴ $\frac{a^{2}}{2} \leq c^{2} \leq a^{2}$ ．∴ $\frac{\sqrt[]{2}}{2} \leq \frac{c}{a} < 1$ ∴ $e \in [\frac{\sqrt[]{2}}{2}, 1)$

评注:以上三种解法分别是不等式法、函数法和几何法，各有其解法特点，对于条件“ $\vec{P F_{1}}$ • $\vec{P F_{2}}$ = $0$ ，即 $\vec{P F_{1}} ⊥ \vec{P F_{2}}$ ”可作多种转化，这是解题的灵活之处，本题也可以改为“当 $∠ F_{1} P F_{2}$ 为某一钝角时，求离心率 $e$ 的取值范围”．在解析几何中求变量的取值范围主要有三种基本方法：①不等式法，即将题设条件转化为关于变量的不等式，再解不等式或由不等式的性质推导出结果；②函数法，即将变量范围转化为某个函数的值域；③几何法，即利用几何性质，通过数形结合求解．求变量的最值的方法也大致如此．

拓展探究
1、如图，在直角梯形

A B C D

中，

A D ＝ 3 ， A B ＝ 4 ， B C ＝ \sqrt[]{3}

，

曲线

D E

上任意一点到A、B两点距离之和都相等．
(1)适当建立坐标系，求曲线DE的方程．
(2)过

C

点能否作一条直线与曲线

D E

相交且以

C

为中点弦？如果不能，请说明理由；如果能，请求出弦所在的直线方程．

提示	示范
(1)建立适当，方程才简练，取 $A B$ 中点为原点，能使 $D E$ 所在椭圆为标准形式． (2)可采用“设而不求”的方法求解．
解:(1)取 $A B$ 的中点 $O$ 为原点，以 $A B$ 所在直线为 $x$ 轴建立直角坐标系，由题意曲线 $D E$ 为一段椭圆弧，得 $a = \frac{1}{2} (\| A D \| + \| B D \|) = 4 ， c ＝ 2$ ．∴ $b^{2} ＝ 12$ ∴曲线 $D E$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1 (－ 2 \leq x \leq 4 ， 0 \leq y \leq 2 \sqrt[]{3})$ ． (2)方法一：C点坐标为 $(2, \sqrt[]{3})$ ．设存在直线 $l$ 与曲线 $E D$ 交于点 $M (x_{1}, y_{1}) 、 N (x_{2}, y_{2})$ ， ${\begin{cases} 3 {(x_{1})}^{2} + 4 {(y_{1})}^{2} = 48 \\ 3 {(x_{2})}^{2} + 4 {(y_{3})}^{2} = 48 \end{cases}$ ∴ $3 (x_{1} ＋ x_{2}) (x_{1} － x_{2}) ＋ 4 (y_{1} ＋ y_{2}) (y_{1} － y_{2}) ＝ 0$ ． ∴ $x_{1} ＋ x_{2} ＝ 4 ， y_{1} ＋ y_{2} ＝ 2 \sqrt[]{3}$ ． ∴ $k = \frac{y_{1} - y_{2}}{x_{1} - x_{2}} = - \frac{\sqrt[]{3}}{2}$ ． ∴直线 $l$ 的方程为 $y = - \frac{\sqrt[]{3}}{2} (x - 2) + \sqrt[]{3}$ ．将直线方程代入曲线 $D E$ 的方程，得 $x^{2} － 4 x ＝ 0$ ．解得 $x_{1} = 0 ， x_{2} = 4 ． M (0, 2 \sqrt[]{3}) ， N (4, 0)$ （ $M 、 N$ 在曲线上）． ∴存在直线 $l$ ，其方程为 $y = - \frac{\sqrt[]{3}}{2} x + 2 \sqrt[]{3}$ ．方法二：取曲线 $D E$ 与 $y$ 轴的交点 $M (0, 2 \sqrt[]{3})$ 和与 $x$ 轴的交点 $N (4, 0)$ ，显然 $c (2, \sqrt[]{3})$ 为 $M N$ 的中点，所以弦 $M N$ 即为所求，其所在方程为 $\frac{x}{4} + \frac{y}{2 \sqrt[]{3}} = 1$ ，即 $y = - \frac{\sqrt[]{3}}{2} x + 2 \sqrt[]{3}$ ．评注:中点弦问题一般有两种思路：一是联立消元，要考虑Δ，二是设而不求，等价于Δ的是弦中点在椭圆内．一般设而不求计算量要小些．

基础训练

1、如果方程

x^{2} + k y^{2} = 2

表示焦点在 y 轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是( )
Ａ.(0,

+ \infty

) Ｂ.(0,2) Ｃ.(1,

+ \infty

) Ｄ.(0,1)
２、设

A (x_{1}, y_{1}) ， B (4, \frac{9}{5}) ， C (x_{2}, y_{2})

是右焦点为F的椭圆

\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1

上三个不同的点，则“|AF|，|BF|，|CF|成等差数列”是“

x_{1} + x_{2} = 8

”的(   )
    Ａ.充要条件    Ｂ.必要不充分条件    Ｃ.充分不必要条件    Ｄ.即非充分也非必要条件
    ３、在给定椭圆中，过焦点且垂直与长轴的弦长为

\sqrt[]{2}

，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为( )
Ａ.

\sqrt[]{2}

Ｂ.

\frac{\sqrt[]{2}}{2}

Ｃ.1/2 Ｄ.

\frac{\sqrt[]{2}}{4}

４、椭圆

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

上任意一点到焦点的距离分别为

d_{1} 、 d_{2}

，焦距为2c，若

d_{1}

、2c、

d_{2}

成等差数列，则椭圆的离心率( )
Ａ.1/2 Ｂ.

\frac{\sqrt[]{2}}{2}

Ｃ.

\frac{\sqrt[]{3}}{2}

Ｄ.3/4
５、点

P (3, 1)

在椭圆

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)

的右准线上，过P点且方向向量为

\vec{a} = (- 2, - 5)

的光线经直线

y = - 2

反射通过椭圆的右焦点，则这个椭圆的离心率为______。
６、为椭圆

\frac{x^{2}}{45} + y^{2} = 1

上一定点，它与两个焦点的连线互相垂直，则点

P

的坐标为__________。
７、椭圆中心在原点，焦点在y轴上，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且这个焦点到长轴较近的顶点距离为

\sqrt[]{10} - \sqrt[]{3}

，求椭圆的方程。
８、设

0 \leq A < 2 π

，若方程

x^{2} sin θ - y^{2} cos θ = 1

表示焦点在

y

轴上的椭圆，求

a

的取值范围。

参考答案

1、如果方程

x^{2} + k y^{2} = 2

表示焦点在 y 轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是( )
Ａ.(0,

+ \infty

) Ｂ.(0,2) Ｃ.(1,

+ \infty

) Ｄ.(0,1)

　　答案：Ｄ
２、设 $A (x_{1}, y_{1}) ， B (4, \frac{9}{5}) ， C (x_{2}, y_{2})$ 是右焦点为F的椭圆 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 上三个不同的点，则“|AF|，|BF|，|CF|成等差数列”是“ $x_{1} + x_{2} = 8$ ”的( )
Ａ.充要条件Ｂ.必要不充分条件Ｃ.充分不必要条件Ｄ.即非充分也非必要条件

　　答案：Ａ
３、在给定椭圆中，过焦点且垂直与长轴的弦长为 $\sqrt[]{2}$ ，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为( )
Ａ. $\sqrt[]{2}$ Ｂ. $\frac{\sqrt[]{2}}{2}$ Ｃ.1/2 Ｄ. $\frac{\sqrt[]{2}}{4}$

　　答案：Ｂ
４、椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 上任意一点到焦点的距离分别为 $d_{1} 、 d_{2}$ ，焦距为2c，若 $d_{1}$ 、2c、 $d_{2}$ 成等差数列，则椭圆的离心率( )
Ａ.1/2 Ｂ. $\frac{\sqrt[]{2}}{2}$ Ｃ. $\frac{\sqrt[]{3}}{2}$ Ｄ.3/4

　　答案：Ａ
５、点 $P (3, 1)$ 在椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右准线上，过P点且方向向量为 $\vec{a} = (- 2, - 5)$ 的光线经直线 $y = - 2$ 反射通过椭圆的右焦点，则这个椭圆的离心率为______。

　　答案： $\frac{\sqrt[]{3}}{3}$
６、为椭圆 $\frac{x^{2}}{45} + y^{2} = 1$ 上一定点，它与两个焦点的连线互相垂直，则点 $P$ 的坐标为__________。

　　答案： $(3, \pm 4)$ 或 $(- 3, \pm 4)$
７、椭圆中心在原点，焦点在y轴上，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且这个焦点到长轴较近的顶点距离为 $\sqrt[]{10} - \sqrt[]{3}$ ，求椭圆的方程。

　　答案： $\frac{y^{2}}{10} + \frac{x^{2}}{5} = 1$
８、设 $0 \leq A < 2 π$ ，若方程 $x^{2} sin θ - y^{2} cos θ = 1$ 表示焦点在 $y$ 轴上的椭圆，求 $a$ 的取值范围。

　　答案： $\frac{π}{2} < α < \frac{3 π}{4}$

提高训练

1、椭圆

\frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{3} = 1

的两焦点为

F_{1} 、 F_{2}

，点

P

在椭圆上，若线段

P F_{1}

的中点在

y

轴上，那么

| P F_{1} |

是

| P F_{2} |

的(   )
    Ａ.７倍　　　　　Ｂ.5倍　　　　　Ｃ.４倍　　　　　Ｄ.３倍
    2、椭圆的离心离为

\frac{1}{3}

，一条准线是

x = 3

，它的标准方程是__________.
3、已知椭圆方程为

\frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{8} = 1

，射线

y = 2 x

(

x \leq 0

)与椭圆的交点为

M

，过

M

作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于

A 、 B

两点(异于

M

)。
(1)求证：直线

A B

的斜率

k_{A B} = 2

；
(2)求

Δ A M B

面积的最大值。
4、椭圆

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)

的离心率为

\frac{\sqrt[]{2}}{2}

,过椭圆的右焦点

F (c, 0)

的直线l与椭圆交于

A 、 B

两点，且与圆

{(x - 3 c)}^{2} + y^{2} = 2 c^{2}

相切，若

A B

的中点为

P

，

Δ P O F

的面积为２，求椭圆的方程。

参考答案

1、椭圆

\frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{3} = 1

的两焦点为

F_{1} 、 F_{2}

，点

P

在椭圆上，若线段

P F_{1}

的中点在

y

轴上，那么

| P F_{1} |

是

| P F_{2} |

的( )
Ａ.７倍　　　　　Ｂ.5倍　　　　　Ｃ.４倍　　　　　Ｄ.３倍

　　答案：Ａ
2、椭圆的离心离为 $\frac{1}{3}$ ，一条准线是 $x = 3$ ，它的标准方程是__________.

　　答案： $x^{2} + \frac{9 y^{2}}{8} = 1$
    3、已知椭圆方程为 $\frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{8} = 1$ ，射线 $y = 2 x$ ( $x \leq 0$ )与椭圆的交点为 $M$ ，过 $M$ 作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于 $A 、 B$ 两点(异于 $M$ )。
    (1)求证：直线 $A B$ 的斜率 $k_{A B} = 2$ ；
    (2)求 $Δ A M B$ 面积的最大值。

　　答案：(1)略 (2)2
4、椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt[]{2}}{2}$ ,过椭圆的右焦点 $F (c, 0)$ 的直线l与椭圆交于 $A 、 B$ 两点，且与圆 ${(x - 3 c)}^{2} + y^{2} = 2 c^{2}$ 相切，若 $A B$ 的中点为 $P$ ， $Δ P O F$ 的面积为２，求椭圆的方程。

　　答案： $\frac{x^{2}}{24} + \frac{y^{2}}{12} = 1$

    学习感悟
    1、在运用椭圆的两种定义解题时，一定要注意隐含条件 $a > c$ ,离心率 $e$ 确定椭圆的形状，焦点到对应准线的距离P确定椭圆的大小。
    2、椭圆类型的判断。无论是由椭圆的方程来确定其几何性质，还是由椭圆的几何性质来确定其标准
形式，椭圆的类型是首要解决的问题。
    (1)由方程确定类型。
    对于方程 $\frac{x^{2}}{m} + \frac{y^{2}}{n} = 1 （ m > 0 且 n > 0, 且 m =! 0 ）$ ,当 $m > n$ 时，表示焦点在 $x$ 轴上的“横椭圆”，当 $m < n$ 时，表示焦点在 $y$ 轴上的“竖椭圆”。
    (2)由几何特征确定。
    ①由椭圆焦点位置确定；
    ②由椭圆准线位置确定；
    椭圆焦点位置的确十分重要，它是正确解决与椭圆基本性质有关问题的前提

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