一、复习目标
    理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算.   

    二、重点难点
    (这里输入)

    三、特别提示
    (1)向量的坐标等于表示该向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标，只有当向量的起点在原点时，向量的坐标才与其终点坐标相同，向量是可以自由平移的，其坐标在移动前后不变.
    (2)两向量共线的充要条件的坐标表示是${\displaystyle x_1{y}_2-x_2{y}_1=0}$，在应用时要特别注意，不能混淆.
    (3)向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示，向量的坐标运算使向量的运算完全代数化，这正是数形结合思想方法的重要体现，由于坐标运算方便，可操作性强，因此在求解有关问题时，可尽量采用向量的坐标运算.

    知识梳理

    1、平面向量的坐标表示
   在平面直角坐标系内，分别取与${\displaystyle x}$轴、${\displaystyle y}$轴正方向相同的两个单位向量${\displaystyle \overrightarrow{i}}$、${\displaystyle \overrightarrow{j}}$作为基底，对任一向量${\displaystyle \overrightarrow{a}}$，有且只有一对实数${\displaystyle x}$、${\displaystyle y}$，使得${\displaystyle \overrightarrow{a}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}}$，则实数对${\displaystyle (x，y)}$叫做向量${\displaystyle \overrightarrow{a}}$的直角坐标，记作${\displaystyle \overrightarrow{a}=(x，y)}$，其中${\displaystyle x}$、${\displaystyle y}$分别叫做${\displaystyle \overrightarrow{a}}$在${\displaystyle x}$轴、${\displaystyle y}$轴上的坐标，${\displaystyle \overrightarrow{a}=(x，y)}$叫做向量${\displaystyle \overrightarrow{a}}$的坐标表示.
    相等的向量其坐标相同，坐标相同的向量是相等向量.
    2、平面向量的坐标运算
    (1)已知点${\displaystyle A(x_1，y_1)}$，${\displaystyle B(x_2，y_2)}$，则${\displaystyle \overrightarrow{AB}=(x_2-x_1，y_2-y_1)}$，${\displaystyle \left|\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2}}$
    (2)已知${\displaystyle \overrightarrow{a}=(x_1，y_1)}$，${\displaystyle \overrightarrow{b}=(x_2，y_2)}$，则
     ${\displaystyle \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(x_1+x_2，y_1+y_2)}$，
     ${\displaystyle \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=(x_1-x_2，y_1-y_2)}$，
     ${\displaystyle \lambda \overrightarrow{a}=(\lambda x_1，\lambda y_1)}$，
     的充要条件是${\displaystyle x_1{y}_2-x_2{y}_1=0}$.
    (3)非零向量${\displaystyle \overrightarrow{a}=(x，y)}$的单位向量为______或______.

    应用举例
    一、应用特点
    1、向量的坐标运算
    2、向量的平行问题
    3、求点的轨迹

    二、案例示范
    (回味相关知识与方法，寻找解题办法，若有困难，可以参考“提示”，还有困难，可以参考“解答”或倾听老师的分析示范)

    1、已知向量${\displaystyle \overrightarrow{u}=(x，y)与向量\overrightarrow{v}=(y，2y-x)}$的对应关系用${\displaystyle v=f\left(u\right)}$表示.
    (1)若${\displaystyle \overrightarrow{a}=(1，1)，\overrightarrow{b}=(1，0)}$，试求向量${\displaystyle f\left(\overrightarrow{a}\right)及f\left(\overrightarrow{b}\right)}$的坐标；
    (2)求使${\displaystyle f\left(\overrightarrow{c}\right)=(4，5)}$的向量${\displaystyle \overrightarrow{c}}$的坐标；
    (3)对于任意的向量${\displaystyle \overrightarrow{a}、\overrightarrow{b}}$及常数${\displaystyle m、n}$，证明：${\displaystyle f(ma+nb)=mf\left(\overrightarrow{a}\right)+nf\left(\overrightarrow{b}\right)}$.

提示	示范
运用向量坐标运算法则进行求解.
解:(1)由题 意，若${\displaystyle \overrightarrow{u}=(x，y)}$，则${\displaystyle \overrightarrow{v}=(y，2y-x)=f\left(\overrightarrow{u}\right)}$.     若${\displaystyle \overrightarrow{a}=(1，1)，\overrightarrow{b}=(1，0)}$，则${\displaystyle f\left(a\right)=(0，2\times 1-1)=(1，1)，f\left(\overrightarrow{b}\right)=(0，2\times 0-1)=(0，-1)}$     (2)设${\displaystyle \overrightarrow{c}=(x，y)}$，则${\displaystyle f\left(\overrightarrow{c}\right)=(y，2y-x)=(4，5)}$     ${\displaystyle \therefore \{\begin{array}{l}y=4\\ \text{2y-x=5}\end{array}}$得${\displaystyle \{\begin{array}{l}x=3\\ \text{y=4}\end{array}}$     ${\displaystyle \therefore \overrightarrow{c}=(3，4)}$     (3)证明：设${\displaystyle \overrightarrow{a}=(a_1，a_2)，\overrightarrow{b}=(b_1，b_2)}$，则${\displaystyle m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}=(m{a}_1+n{b}_1，m{a}_2+n{b}_2)}$，     ${\displaystyle f(m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b})=(m{a}_2+n{b}_2，2m{a}_2+2n{b}_2-m{a}_1-n{b}_1)}$，     又${\displaystyle mf\left(\overrightarrow{a}\right)+nf\left(\overrightarrow{b}\right)=m(a_2，2a_2-a_1)+n(b_2，2b_2-b_1)=(m{a}_2+n{b}_2，2m{a}_2+2n{b}_2-m{a}_1-n{b}_1)}$，     ${\displaystyle \therefore f(m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b})=mf\left(\overrightarrow{a}\right)+nf\left(\overrightarrow{b}\right)}$     评注:本题综合了向量的坐标运算与函数关系.

提示	示范
本题考查向量的运算.
解:由题可知：${\displaystyle \overrightarrow{AB}=\lambda \overrightarrow{a}=(2\lambda ，3\lambda )}$，并有${\displaystyle \lambda >0}$.     又${\displaystyle \left|\overrightarrow{AB}\right|=2\sqrt{13}\Rightarrow \sqrt{{\left(2\lambda \right)}^2+{\left(3\lambda \right)}^2}=2\sqrt{13}\Rightarrow {\lambda }^2=4\Rightarrow \lambda =2}$.     则${\displaystyle \overrightarrow{AB}=(4，6)}$，${\displaystyle \overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}=(1，-2)+(4，6)=(5，4)}$，即点${\displaystyle B}$的坐标为${\displaystyle (5，4)}$.     评注:注意向量同向概念的理解与应用.

    3、已知抛物线${\displaystyle y^2=4x}$，顶点为${\displaystyle O}$，动直线${\displaystyle l:y=k(x+1)}$与抛物线交于${\displaystyle A}$，${\displaystyle B}$两点，求满足${\displaystyle \overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}$的点${\displaystyle M}$的轨迹方程.

提示	示范
将直线与曲线方程联立，并表示出${\displaystyle \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}$(本质即${\displaystyle (x_1+x_2，y_1+y_2)}$)消去参数${\displaystyle k}$即可.
解:设${\displaystyle M(x，y)}$，${\displaystyle A(\frac{y_1^2}{4}，y_1)}$，${\displaystyle B(\frac{y_2^2}{4}，y_2)}$     则由${\displaystyle \overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}$得${\displaystyle (x，y)=(\frac{y_1^2}{4}，y_1)+(\frac{y_2^2}{4}，y_2)=(\frac{y_1^2+y_2^2}{4}，y_1+y_2)}$     ${\displaystyle \therefore x=\frac{y_1^2+y_2^2}{4}=\frac{{(y_1+y_2)}^2-2y_1{y}_2}{4}}$，${\displaystyle y=y_1+y_2}$     联立方程组${\displaystyle \{\begin{array}{l}{y}^2=4x\\ \text{y=k(x+1)}\end{array}}$消去${\displaystyle x}$得，${\displaystyle k{y}^2-4y+4k=0}$     则${\displaystyle y_1}$，${\displaystyle y_2}$是方程的两根，且${\displaystyle y_1{y}_2=4}$     ${\displaystyle \therefore x=\frac{{(y_1+y_2)}^2}{4}-2}$，     ${\displaystyle \therefore x=\frac{y^2}{4}-2}$，即${\displaystyle y^2=4x+8}$     又${\displaystyle \because x=\frac{y_1^2+y_2^2}{4}>\frac{2y_1{y}_2}{4}=2}$，     ${\displaystyle \therefore }$点${\displaystyle M}$的轨迹方程为${\displaystyle y^2=4x+8(x>2)}$     评注:本题用向量的坐标运算解决解析几何问题，这是向量应用的一个重要体现.2004、2005年均将向量与解析几何综合，而2002年天津卷将平面向量与等差数列、解析几何中的轨迹方程等融于一题，应视为一重要的考查方式.

    实践体验
    (在实践中提高能力，在体验中反思感悟，力求独立，力求提高)

    1、如图所示，已知${\displaystyle A(4，0)}$，${\displaystyle B(4，4)}$，${\displaystyle C(2，6)}$，求${\displaystyle AC}$和${\displaystyle OB}$的交点${\displaystyle P}$的坐标.

   

提示	示范
已知四边形四顶点的坐标求其对角线交点的坐标，一般可利用共线向量的充要条件求解.
解:方法一：设点${\displaystyle P}$的坐标为${\displaystyle (x，y)}$，则${\displaystyle \overrightarrow{OP}=(x，y)}$，${\displaystyle \overrightarrow{OB}=(4，4)}$     ${\displaystyle \because \overrightarrow{OP}}$、${\displaystyle \overrightarrow{OB}}$共线，     ${\displaystyle \therefore 4x-4y=0}$ ①     又${\displaystyle \because \overrightarrow{CP}=(x-2，y-6)}$，${\displaystyle \overrightarrow{CA}=(2，-6)}$且向量${\displaystyle \overrightarrow{CP}}$、${\displaystyle \overrightarrow{CA}}$共线     ${\displaystyle \therefore -6(x-2)-2(y-6)=0}$ ②     解①②得${\displaystyle x=3}$，${\displaystyle y=3}$，     ${\displaystyle \therefore }$点${\displaystyle P}$的坐标为${\displaystyle (3，3)}$     方法二：，     ${\displaystyle \therefore }$设${\displaystyle \overrightarrow{OP}=\lambda \overrightarrow{OB}=(4\lambda ，4\lambda )}$，     ${\displaystyle \therefore \overrightarrow{AP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}=(4\lambda ，4\lambda )-(4，0)=(4\lambda -4，4\lambda )}$     又${\displaystyle \overrightarrow{AC}=(2，6)-(4，0)=(-2，6)}$，且，     ${\displaystyle \therefore (4\lambda -4)\times 6-4\lambda \times (-2)=0}$     解之，得${\displaystyle \lambda =\frac{3}{4}}$.     ${\displaystyle \therefore \overrightarrow{OP}=(3，3)}$.     故${\displaystyle P}$点坐标为${\displaystyle (3，3)}$.     评注:向量的坐标表示实际上是向量的代数表示.向量的坐标和点的坐标都是有序实数对，但向量的坐标可以进行加法、减法、数乘运算，而点的坐标是不能运算的，当起点在原点时，向量的坐标与其终点坐标是相同的，因此，求点P的坐标可以转化为求${\displaystyle \overrightarrow{OP}}$的坐标.已知四边形四顶点的坐标求其对角线交点的坐标，一般可利用共线向量的充要条件求解，这就要充分利用已知几何图形的性质，如三点共线、线段互相平行等，以便找出共线的向量，建立方程或方程组，求出结果.

    2、在直角坐标系${\displaystyle xOy}$中，已知点${\displaystyle A(0，1)}$和点${\displaystyle B(-3，4}$).若点${\displaystyle C}$在${\displaystyle \angle AOB}$的平分线上且${\displaystyle \overrightarrow{OC}=2}$，则${\displaystyle \overrightarrow{OC}=}$______

提示	示范
注意向量的运算同内角平分线定理的结合.
解:${\displaystyle \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=(-3，4)-(0，1)=(-3，3)}$     设${\displaystyle \angle AOB}$的平分线交${\displaystyle AB}$于${\displaystyle D}$点，由内角平分线定理，知${\displaystyle \overrightarrow{AD}=\frac{1}{6}\overrightarrow{AB}=(-\frac{1}{2}，\frac{1}{2})}$     ${\displaystyle \therefore \overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AD}=(-\frac{1}{2}，\frac{3}{2})，\frac{\left|\overrightarrow{OC}\right|}{\left|\overrightarrow{OD}\right|}=\frac{2}{\frac{\sqrt{10}}{2}}=\frac{4}{\sqrt{10}}=\frac{2\sqrt{10}}{5}}$     ${\displaystyle \therefore \overrightarrow{OC}=\frac{2\sqrt{10}}{5}\overrightarrow{OD}=(-\frac{\sqrt{10}}{5}，\frac{3\sqrt{10}}{5})}$     答案：${\displaystyle (-\frac{\sqrt{10}}{5}，\frac{3\sqrt{10}}{5})}$     评注:本题考查向量的运算同内角平分线定理的结合；另外此题也可利用向量的加法运算，${\displaystyle \overrightarrow{OC}=\lambda (\frac{\overrightarrow{OA}}{\left|\overrightarrow{OA}\right|}+\frac{\overrightarrow{OB}}{\left|\overrightarrow{OB}\right|})}$来计算${\displaystyle \overrightarrow{OC}}$.

    学习感悟
    1、建立平面向量的坐标，基础是平面向量基本定理．因此，对所给向量应会根据条件在${\displaystyle x}$轴和${\displaystyle y}$轴进行分解，求出其坐标.向量的坐标表示，实际是向量的代数表示.在引入向量的坐标表示后，即可使向量运算完全代数化，将数与形紧密地结合了起来.这样，很多几何问题就转化为学生熟知的数量的运算.
    2、已知向量的始点和终点坐标求向量的坐标时一定要搞清方向，用对应的终点坐标减始点坐标．本节易忽略点：一是易将向量的终点坐标误为向量的坐标；二是向量共线的坐标表示易与后面向量垂直的坐标表示混淆.