解答题

21、(本题满分16分) 第1小题满分4分, 第2小题满分6分, 第3小题满分6分

  如图,P-ABC是底面边长为1的正三棱锥,D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上

的点, 截面DEF∥底面ABC, 且棱台DEF-ABC与棱锥P-ABC的棱长和相等.

(棱长和是指多面体中所有棱的长度之和)

(1)     证明：P-ABC为正四面体；

(2)     若PD=PA, 求二面角D-BC-A的

大小；(结果用反三角函数值表示)

(3)     设棱台DEF-ABC的体积为V, 是

否存在体积为V且各棱长均相等的直

平行六面体,使得它与棱台DEF-ABC

有相同的棱长和? 若存在,请具体构造

出这样的一个直平行六面体,并给出证

明；若不存在,请说明理由.

  解答