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2025年高考数学新高考Ⅰ-14<-->2025年高考数学新高考Ⅰ-16
（13分）为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表：
超声波检查结果
组别 |
正常 |
不正常 |
合计 |
| 患该疾病 |
20 |
180 |
200 |
| 未患该疾病 |
780 |
20 |
800 |
| 合计 |
800 |
200 |
1000 |
（1）记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为$P$，求$P$的估计值；
（2）根据小概率值$\alpha =0.001$的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关．
附：$\chi ^{2}=\dfrac{n{(ad-bc)}^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$
| $P(\chi ^{2}\geqslant k)$ |
0.050 |
0.010 |
0.001 |
| $k$ |
3.841 |
6.635 |
10.828 |
〖答案〗（1）$P=\dfrac{9}{10}$；
（2）认为超声波检查结果与患该疾病有关，该推断犯错误的概率不超过0.001．
〖分析〗（1）由样本估计总体和古典概型的概率求法即可求得；
（2）由独立性检验知识即可求解．
〖解答〗解：（1）由题知，样本中超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为$\dfrac{180}{200}=\dfrac{9}{10}$，
由样本估计总体可得超声波检查结果不正常者患该疾病的概率$P=\dfrac{9}{10}$；
（2）零假设$H_{0}$为：超声波检查结果与患该疾病无关．
代入$2\times 2$列联表中的数据可得：$\chi ^{2}=\dfrac{1000(20\times 20-180\times 780)^{2}}{800\times 200\times 200\times 800}=\dfrac{6125}{8}=765.625 > 10.828$，
根据小概率值$\alpha =0.001$的独立性检验，我们推断$H_{0}$不成立，即认为超声波检查结果与患该疾病有关，
该推断犯错误的概率不超过0.001．
〖点评〗本题考查古典概型的概率求解，独立性检验的应用，属于中档题．
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