2004年

解答题

（17）（本题满分12分）

在ΔABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且。

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若，求bc的最大值。

解答

（18） （本题满分12分）

盒子中有大小相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为2的球4个，

标号为5的球3个，第一次从盒子中任取1个球，放回后第二次再任取1个球

（假设取到每个球的可能性都相同）。记第一次与第二次取到球的标号之和为ε。

（Ⅰ）求随机变量ε的分布列；

（Ⅱ）求随机变量ε的期望Eε。

解答

（19）（本题满分12分）

如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，

   AB=，AF=1，M是线段EF的中点。

  （Ⅰ）求证AM∥平面BDE；

  （Ⅱ）求二面角A—DF—B的大小；

    解答

（20）（本题满分12分）

   设曲线≥0）在点M（t,c^--1）处的切线与x轴y轴所围成

 的三角表面积为S（t）。

   （Ⅰ）求切线的方程；

（Ⅱ）求S（t）的最大值。

      解答

（21）（本题满分12分）

已知双曲线的中心在原点，右顶点为A（1，0）点P、Q在双

曲线的右支上，支M（m,0）到直线AP的距离为1。

（Ⅰ）若直线AP的斜率为k，且，求实数m的

  取值范围；

（Ⅱ）当时，ΔAPQ的内心恰好是点M，求此双曲

线的方程。

解答

（22）（本题满分14分）

  如图，ΔOBC的在个顶点坐标分别为（0,0）、（1,0）、（0,2）,

设P为线段BC的中点,P₂为线段CO的中点,P₃为线

段OP₁的中点,对于每一个正整数n,P_n+3为线段P_nP_n+1的

中点,令P_n的坐标为(x_n,y_n),

  （Ⅰ）求及;

（Ⅱ）证明

 (Ⅲ)若记证明是等比数列.

       解答

     2005年

解答题

15．已知函数f(x)＝－sin2x＋sinxcosx．

   (Ⅰ) 求f()的值；

   (Ⅱ) 设∈(0，)，f()＝－，求sin的值．

解答

16．已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)＝x2＝2x．

   (Ⅰ)求函数g(x)的解析式；

   (Ⅱ)解不等式g(x)≥f(x)－|x－1|．

解答

17．如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，长轴的长为4，

左准线与x轴的交点为M，|MA1|∶|A1F1|＝2∶1．

   (Ⅰ)求椭圆的方程；

   (Ⅱ)若直线：x＝m(|m|＞1)，P为上的动点，

   使最大的点P记为Q，求点Q的坐标(用m表示)．

解答

18．如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝kPA，点O、D分别是AC、PC的中点，

OP⊥底面ABC．

   (Ⅰ)当k＝时，求直线PA与平面PBC所成角的大小；

   (Ⅱ) 当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好

   为△PBC的重心？ 

解答

19．袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是，

从B中摸出一个红球的概率为p．

  (Ⅰ) 从A中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止．(i)求恰好

摸5次停止的概率；(ii)记5次之内(含5次)摸到红球的次数为，求随机变量的

分布率及数学期望E．

   (Ⅱ) 若A、B两个袋子中的球数之比为12，将A、B中的球装在一起后，从中摸

出一个红球的概率是，求p的值．

解答

20．设点(，0)，和抛物线：y＝x2＋an x＋bn(n∈N*)，其中

a_n＝－2－4_n－，由以下方法得到：

   x₁＝1，点P₂(x₂，2)在抛物线C₁：y＝x₂＋a₁x＋b₁上，点A₁(x₁，0)到P₂的距离是

   A₁到C₁上点的最短距离，…，点在抛物线：y＝x₂＋a_n x＋b_n上，

   点(，0)到的距离是 到 上点的最短距离．

   (Ⅰ)求x₂及C₁的方程．

   (Ⅱ)证明{}是等差数列．

解答

2006

解答题

（15）如图，函数的图象与y轴交于点（0，1）

 （Ⅰ）求的值；

       （Ⅱ）设P是图象上的最高点，M、N是图象与x轴的交点，求与的夹角。

      解答

（16）设：

     （Ⅰ）;

     （Ⅱ）方程在（0，1）内有两个实根。

解答

（17）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形，AD//BC，BAD=，

PA⊥底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC，M、N分别为PC、PB的中点.

     （Ⅰ）求证：PB⊥DM；

     （Ⅱ） 求CD与平面ADMN所成的角。

 解答

   （18）甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球；

    乙袋装有2个红球，n个白球，现从甲、乙两袋中各任取2个球。

（Ⅰ）若n=3，求取到的4个球全是红球的概率；

（Ⅱ）若取到的4个球中至少有2个红球的概率为，求n.

解答

（19）如图，椭圆（2，0）、B（0，1）

的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e=。

   （Ⅰ）求椭圆方程；

    （Ⅱ）设F₁、F₂分别为椭圆的左、右焦点，M为线段AF₂的中点，

求证：∠ATM=∠AF₁T。

解答

（20）已知函数数列{}（）的第一项以后各项

按如下方式取定：曲线处的切线与经过（0，0）和

（两点的直线平行（如图），求证：当nN⁺时，

（Ⅰ）；

（Ⅱ）。

解答

2007

解答题

（18）（本题14分）已知的周长为，且．

（I）求边的长；

（II）若的面积为，求角的度数．

解答

（19）（本题14分）在如图所示的几何体中，平面，

平面，

，且，是的中点．

（I）求证：；

（II）求与平面所成的角．

解答

（20）（本题14分）如图，直线与椭圆

交于两点，

记的面积为．

（I）求在，的条件下，的最大值；

（II）当，时，求直线的方程．

解答

（21）（本题15分）已知数列中的相邻两项是关于的方程

的两个根，且．

（I）求，，，；

（II）求数列的前项和；

（Ⅲ）记，

，

求证：．

解答

（22）（本题15分）设，对任意实数，记．

（I）求函数的单调区间；

（II）求证：（ⅰ）当时，对任意正实数成立；

（ⅱ）有且仅有一个正实数，使得对任意正实数成立．

解答