三、解答题

15．（本小题共13分）

数列中，，（是常数，），

且成公比不为的等比数列．

（I）求的值；

（II）求的通项公式．

解答

16．（本小题共14分）

如图，在中，，斜边．可以通过以

直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角．动点的斜边上．

（I）求证：平面平面；

（II）当为的中点时，求异面直线与所成角的大小；

（III）求与平面所成角的最大值．

解答

17．（本小题共14分）

矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为，

点在边所在直线上．

（I）求边所在直线的方程；

（II）求矩形外接圆的方程；

（III）若动圆过点，且与矩形的外接圆外切，求动圆的圆心的轨迹方程．

解答

18．（本小题共13分）

某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）．

该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示．

（I）求合唱团学生参加活动的人均次数；

（II）从合唱团中任意选两名学生，求他们

参加活动次数恰好相等的概率．

（III）从合唱团中任选两名学生，

用表示这两人参加活动次数之差的绝对值，

求随机变量的分布列及数学期望．

解答

19．（本小题共13分）

如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为，短半轴长为，计划将此钢板切割成

等腰梯形的形状，下底是半椭圆的短轴，上底的端点在椭圆上，

记，梯形面积为．

（I）求面积以为自变量的函数式，并写出其定义域；

（II）求面积的最大值．

解答

20．已知集合，其中，由中的元素

构成两个相应的集合：

，．

其中是有序数对，集合和中的元素个数分别为和．

若对于任意的，总有，则称集合具有性质．

（I）检验集合与是否具有性质并对其中具有性质的集合，

写出相应的集合和；

（II）对任何具有性质的集合，证明：；

（III）判断和的大小关系，并证明你的结论．

解答