三、解答题

（22）（本小题满分14分）

已知数列｛｝中，在直线y=x上，其中n=1,2,3….

(Ⅰ)令

(Ⅱ)求数列

(Ⅲ)设的前n项和。是否存在实数，使得

数列为等差数列？若存在，试求出；若不存在，则说明理由。

解：

    (Ⅰ)由已知得  a₁＝，2a_n+1=a_n+n,

    ∵a₂=，a₂-a₁-1=--1＝-，

    又b_n=a_n+1-a_n-1，

    ∴b_n+1=a_n+2-a_n+1-1，

    ∴.

    ∴{b_n}是以-为首项，以为公比的等比数列．

    (Ⅱ)由(I)知，b_n＝-×^n-1=-×，

    ∴a_n+1-a_n-1＝-×，

    ∴a₂-a₁-1＝-×，

a₃-a₂-1=-×,

……

      a_n-a_n-1-1=-×，

将以上各式相加得：

a_n-a₁-(n-1)=-，

∴a_n=a₁+n-1-×+(n-1)-(1-)=+n-2．

∴a_n=+n-2．

(Ⅲ)解法一：

存在λ=2，使数列是等差数列．

∵S_n＝a₁+a₂+…+a_n=3+(1+2+…+n)-2n

    =3×-2n

    =3+3．

T_n=b₁+b₂+…+b_n=.

数列是等差数列的充要条件是=An+B，(A、B是常数)

即S_n+λT_n=An²+Bn，

又S_n+λT_n=-+3+λ(-)

        =+3(1-)(1-)

  ∴当且仅当1-＝0，即λ=2时，数列为等差数列.

    解法二：

存在λ=2，使数列是等差数列.

  由(Ⅰ)、(Ⅱ)知，a_n+2b_n=n-2

  ∴S_n+2T_n=-2n

  ∴

=T_n

又T_N=b₁+b₂+…+b_n=

∴

∴当且仅当λ=2时，数列是等差数列．