三、解答题

21.（本小题满分12分）

      双曲线C与椭圆有相同的焦点，直线y=x为C的一条渐近线．

     （Ⅰ）求双曲线C的方程；

     （Ⅱ）过点P（0，4）的直线l，交双曲线C于A、B两点，交x轴于Q点

（Q点与C的顶点不重合）.当=λ₁=λ₂，且λ₁+λ₂=时，求Q点的坐标．

解：(Ⅰ)设双曲线方程为=1．

由椭圆求得两焦点为(-2，0)，(2，0)．

∴对于双曲线C:c=2.又y=x为双曲线C的一条渐近线，

    ∴   解得  a²=1，b²=3，

∴双曲线C的方程为：  -=1.

（Ⅱ）解法一：

由题意知直线l的斜率k存在且不等于零.

设l的方程：y=kx+4,A(x₁,y₁)，

B(x₂,y₂)，

则Q(-，0)，

∵=λ₁，

    ∴(-，-4)=λ₁(x₁+，y₁).

    ∴

∵A(x₁，y₁)在双曲线C上，

∴=0.

∴.

∴

同理有：(16-k²)λ²₂+32λ₂+16-k²=0．

若16-k²=0，则直线l过顶点，不合题意．  ∴16-k²≠0．

∴λ₁、λ₂是二次方程(16-k²)x²+32x+16-k²=0的两根．

∴λ₁+λ₂=.

∴k²=4,

此时△＞0，  ∴k=±2.

∴所求Q的坐标为(±2，0)．

解法二：

由题意知直线l的斜率k存在且不等于零

设l的方程：  y=kx+4，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则Q(-，0).

∵=λ₁，

∴Q分的比为λ₁.

由定比分点坐标公式得：

下同解法一

解法三：

由题意知直线l的斜率k存在且不等于零.

设l的方程：  y=kx+4，A(x₁,y₁)，B(x₂，y₂)，  则Q(-，0).

∵=λ₁=λ₂,

∴(-,-4)=λ₁(x₁+，y₁)=λ₂(x₂+，y₂).

∴-4=λ₁y_l=λ₂y₂.

∴λ₁=-，λ₂＝-.

又λ₁+λ₂=-，

∴.

即 3(y₁+y₂)=2y₁y₂.

将y=kx+4代入x²-=1得

(3-k²)y²-24y+48-3k²=0．

∵3-k²≠0,否则l与渐近线平行，

∴y₁+y₂=，y₁y₂=.

∴．

∴k＝±2．

∴Q(±2，0)．

解法四：

由题意知直线l的斜率k存在且不等于零

设l的方程：  y＝kx+4，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，  则Q(-，0).

∵

∴(-,-4)=λ₁(x₁+，y₁).

∴λ₁=

同理  λ₂=.

      λ₁+λ₂=-.

    即  2k²x₁x₂+5k(x₁+x₂)+8＝0．             (*)

    又

    消去y得

    (3-k²)x²-8kx-19=0．

    当3-k²＝0时，则直线l与双曲线的渐近线平行，不合题意，3-k²≠0．

由韦达定理有：

    代入(*)式得  k²=4，  k=±2

    ∴所求Q点的坐标为(±2，0)．