解答题

（19）（本题满分12分）

如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，

 AB=，AF=1，M是线段EF的中点。

（Ⅰ）求证AM∥平面BDE；

（Ⅱ）求二面角A—DF—B的大小；

方法一

解: (Ⅰ)记AC与BD的交点为O,连接OE,

   ∵O、M分别是AC、EF的中点，ACEF是矩形，

∴四边形AOEM是平行四边形，

∴AM∥OE。

∵平面BDE， 平面BDE，

∴AM∥平面BDE。

(Ⅱ)在平面AFD中过A作AS⊥DF于S，连结BS，

∵AB⊥AF， AB⊥AD，

∴AB⊥平面ADF，

∴AS是BS在平面ADF上的射影，

由三垂线定理得BS⊥DF。

∴∠BSA是二面角A—DF—B的平面角。

在RtΔASB中，

∴

∴二面角A—DF—B的大小为60º。

（Ⅲ）设CP=t（0≤t≤2）,作PQ⊥AB于Q，则PQ∥AD，

∵PQ⊥AB，PQ⊥AF，，

∴PQ⊥平面ABF，平面ABF，

∴PQ⊥QF。

在RtΔPQF中，∠FPQ=60º，

PF=2PQ。

∵ΔPAQ为等腰直角三角形，

∴

又∵ΔPAF为直角三角形，

∴，

∴

所以t=1或t=3(舍去)

即点P是AC的中点。

方法二

   （Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系。

    设，连接NE，

    则点N、E的坐标分别是（、（0,0,1）,

    ∴NE=(,

    又点A、M的坐标分别是

  （）、（

  ∴ AM=（

∴NE=AM且NE与AM不共线，

∴NE∥AM。

又∵平面BDE， 平面BDE，

∴AM∥平面BDF。

（Ⅱ）∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF

∴AB⊥平面ADF。

∴为平面DAF的法向量。

∵NE·DB=（·=0，

∴NE·NF=（·=0得

NE⊥DB，NE⊥NF，

∴NE为平面BDF的法向量。

∴cos<AB,NE>=

∴AB与NE的夹角是60º。

即所求二面角A—DF—B的大小是60º。

（Ⅲ）设P(t,t,0)(0≤t≤)得

∴CD=（，0，0）

又∵PF和CD所成的角是60º。

∴

解得或（舍去），

即点P是AC的中点。