解答题

21.（本小题满分12分）

已知函数是R上的奇函数，当时取得极值。

（1）求的单调区间和极大值；

（2）证明对任意，，不等式恒成立。

本小题主要考查函数的单调性及奇偶性，考查运用导数研究函数单调性及

极值等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力，满分12分。

（1）解：由奇函数的定义，应有，

即    ∴

因此，      

由条件为的极值，必有，故

解得，

因此，，

当时，，故在单调区间上是增函数

当时，，故在单调区间上是减函数

当时，，故在单调区间上是增函数

所以，在处取得极大值，极大值为

（2）解：由（1）知，是减函数，且

在上的最大值

在上的最小值

所以，对任意的，，恒有