解答题

21．（本小题满分12分）

   如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD 为矩形，AB=8，AD=4，

侧面PAD为等边三角形，并且与底面所成二面角为60°.

（Ⅰ）求四棱锥P—ABCD的体积；

（Ⅱ）证明PA⊥BD.

本小题主要考查棱锥的体积、二面角、异面直线所成的角等知识和空间想象

能力、分析问题能力.满分12分.

   解：（Ⅰ）如图1，取AD的中点E，连结PE，则PE⊥AD.

作PO⊥平面在ABCD，垂足为O，连结OE.

根据三垂线定理的逆定理得OE⊥AD，

所以∠PEO为侧面PAD与底面所成的二面角的平面角，

由已知条件可知∠PEO=60°，PE=6，

所以PO=3，四棱锥P—ABCD的体积

V_P—ABCD=

（Ⅱ）解法一：如图1，以O为原点建立空间直角坐标系.通过计算可得

P（0，0，3），A（2，－3，0），B（2，5，0），D（－2，－3，0）

所以

因为 所以PA⊥BD.

解法二：如图2，连结AO，延长AO交BD于点F.能过计算可得EO=3，AE=2，

又知AD=4，AB=8，

得

所以  Rt△AEO∽Rt△BAD.

        得∠EAO=∠ABD.

        所以∠EAO+∠ADF=90°

   所以  AF⊥BD.

   因为  直线AF为直线PA在平面ABCD 内的身影，所以PA⊥BD.