21．（本小题满分14分）

已知函数的最大值不大于，又当

   （1）求a的值；

   （2）设

  本小题主要考查函数和不等式的概念，考查数学归纳法，以及灵活运用

数学方法分析和解决问题的能力. 满分14分.

（1）解：由于的最大值不大于所以

             ①   ………………3分

又所以.  ②

由①②得………………6分

（2）证法一：（i）当n=1时，，不等式成立；

因时不等式也成立.

（ii）假设时，不等式成立，因为的

对称轴为知为增函数，所以由得

………………8分

于是有

                                       …………12分

所以当n=k+1时，不等式也成立.

根据（i）（ii）可知，对任何，不等式成立.……14分

证法二：（i）当n=1时，，不等式成立；

（ii）假设时不等式成立，即，则当n=k+1时，

………………8分

因所以

……12分

于是   因此当n=k+1时，不等式也成立.

根据（i）（ii）可知，对任何，不等式成立.…………14分

证法三：（i）当n=1时，不等式成立；

（ii）假设时.

若则  ①…………8分

所以都是增函数.

因此当时，的最大值为的最小值为

而不等式②成立当且仅当即

，于是得 ………………12分

解法二：由得

设

于是原不等式对于恒成立等价于 ③…7分

由，注意到

故有，从而可均在

上单调递增，因此不等式③成立当且仅当

即 ………………12分