三、解答题

20．（本题14分）在如图所示的几何体中，平面，平面，

，且，是的中点．

（I）求证：；

（II）求与平面所成的角的正切值．

本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间

想象能力和推理运算能力．满分14分．

方法一：

（I）证明：因为，是的中点，

所以．

又因为平面，

所以．

（II）解：连结，设，则，

在直角梯形中，

，是的中点，

所以，，，

因此．

因为平面，

所以，

因此平面，

故是直线和平面所成的角．

在中，

，，

．

方法二：

如图，以点为坐标原点，以，分别为轴和轴，过点作与平面垂直

的直线为轴，建立直角坐标系，

设，则，，．

，．

（I）证明：因为，，

所以，

故．

（II）解：设向量与平面垂直，则，，

即，．

因为，，

所以，，

即，

因为，

，

与平面所成的角是与夹角的余角，

所以．